Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyenhan]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

[aristotle pytago]

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=4x^{2}-4+\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

ta có $4x^{2}+\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}-4=\frac{1}{2}\left [ 4x^{2}+(2x^{2}+3)+(2x^{2}+3)+\frac{64}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}} \right ]-7\geq \frac{1}{2}.4\sqrt{4.64}-7=1$

giả sử VT bé hơn 1 rồi giải bất phương trình suy ra luôn đúng vậy VT bé hơn 1 bé hơn hoặc bằng VP vậy phương trình vô nghiệm

[trauvang97]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$

 

ĐK: $x\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 

$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=4x^{2}-4+\frac{32}{x^2\left ( 2x^2+3 \right )^2}$

 

Ta có:

 

$VP=\frac{1}{2}\left [ 4x^2+(2x^2+3)+(2x^2+3)+\frac{64}{x^2(2x^2+3)^2} \right ]-7\geq \frac{1}{2}4.4-7=1$

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 19-06-2015 - 22:09

[chanhquocnghiem]

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Đây là Toán Trung học cơ sở mà sao bạn trauvang97 lại đem giới hạn với đạo hàm vào vậy !

 

Mình đề xuất 1 cách khác chứng minh $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1$ như sau :

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leqslant \left | \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \right |=\frac{2.\left | x \right |}{\sqrt{x^2+\left | x \right |+1}+\sqrt{x^2-\left | x \right |+1}}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $\left | x \right |\geqslant \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{2.\left | x \right |+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=1$

$2)$ $0< \left | x \right |< \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{\left | x \right |+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left | x \right |}=2.\left | x \right |< 1$

Vậy trong mọi TH, ta luôn có $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1\Rightarrow$ ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-06-2015 - 22:13

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Đây là Toán Trung học cơ sở mà sao bạn trauvang97 lại đem giới hạn với đạo hàm vào vậy !

 

Mình đề xuất 1 cách khác chứng minh $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1$ như sau :

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leqslant \left | \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \right |=\frac{2.\left | x \right |}{\sqrt{x^2+\left | x \right |+1}+\sqrt{x^2-\left | x \right |+1}}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $\left | x \right |\geqslant \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{2.\left | x \right |+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=1$

$2)$ $0< \left | x \right |< \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{\left | x \right |+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left | x \right |}=2.\left | x \right |< 1$

Vậy trong mọi TH, ta luôn có $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1\Rightarrow$ ĐPCM.

Cả bạn sao cũng lạ vậy:

Chỉ cần chuyển vế bình phương rồi biện luận là được mà:

$bpt\Leftrightarrow 2x-1< 2\sqrt{x^{2}-x+1}$

ta thấy với $x< \frac{1}{2}\Rightarrow$ bpt luôn đúng

với $x> \frac{1}{2}\Rightarrow bpt\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1< 4x^{2}-4x+4\Leftrightarrow 1< 3$luôn đúng.

suy ra đpcm

[chanhquocnghiem]

Cả bạn sao cũng lạ vậy:

Chỉ cần chuyển vế bình phương rồi biện luận là được mà:

$bpt\Leftrightarrow 2x-1< 2\sqrt{x^{2}-x+1}$

ta thấy với $x< \frac{1}{2}\Rightarrow$ bpt luôn đúng

với $x> \frac{1}{2}\Rightarrow bpt\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1< 4x^{2}-4x+4\Leftrightarrow 1< 3$luôn đúng.

suy ra đpcm

Cách của bạn thì aristotle pytago đã nói ở trên rồi.Mình chỉ định góp thêm 1 cách khác thôi.