Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $$x+y+z=3xyz$$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$$
$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$$
Bắt đầu bởi 100oC, 23-02-2015 - 20:10
bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 23-02-2015 - 20:10
100oC
-
- Thành viên
-
- 23 Bài viết
Binh nhất
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! 
๖ۣۜToán học
#3
Đã gửi 23-02-2015 - 20:36
dinhnguyenhoangkim
-
- Thành viên
-
- 56 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $$x+y+z=3xyz$$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$$
Đặt $A= \sum \frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}$
Ta có: $3xyz= x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\geq 1$
Ta có: $\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}= \frac{1}{x^2+y^2z^2+y^2z^2+1}\leq \frac{1}{2xyz+2yz}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{2xyz}+\frac{1}{2yz} \right )$
Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A\leq \frac{3}{8xyz}+\frac{1}{8}\sum \frac{1}{xy}= \frac{3}{8xyz}+\frac{x+y+z}{8xyz}\leq \frac{3}{8}+\frac{3}{8}= \frac{3}{4}$ (do $xyz\geq 1$ và $\frac{x+y+z}{xyz}= 3$) $\Rightarrow$ đpcm
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
