Chủ đề này có 7 trả lời

[tienthcsln]

Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thoả mãn $a+b+c+d=4$.

CMR:

$\sum \frac{1}{11+a^2} \le \frac{1}{3}$

[dinhnguyenhoangkim]

Đặt $A= \sum \frac{1}{11+a^2}$

Từ giả thiết suy ra $0< a, b, c, d< 4$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{11+a^2}\leq \frac{1}{6}-\frac{a}{12}, \forall a\in \left ( 0;4 \right )$ (1)

Ta có: (1)$\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2\left ( a-5 \right )\leq 0,\forall a\in \left ( 0;4 \right )$  (đúng)

Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A\leq \frac{2}{3}-\frac{a+b+c+d}{12}= \frac{2}{3}-\frac{4}{12}= \frac{1}{3}$

[tienthcsln]

Phải là $\frac{1}{11+a^2} \le \frac{7}{72} - \frac{a}{72}$ chứ.
p/s: có lời giải bằng Chebyshev không nhỉ?  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienthcsln: 24-02-2015 - 18:25

[hoanglong2k]

Phải là $\frac{1}{11+a^2} \le \frac{7}{72} - \frac{a}{72}$ chứ.
p/s: có lời giải bằng Chebyshev không nhỉ?  

Ta có $\sum \frac{1}{11+a^2} \le \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{a^2+11}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-1).\frac{a+1}{a^2+11}\geq 0$

Vì bất đẳng thức hoán vị nên ta giả sử $a\geq b\geq c\geq d$

   Ta chứng minh $\frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{b+1}{b^2+11}\Leftrightarrow (a-b)(11-a-b-ab)\geq 0$

   Mà $11-a-b-ab> 11-4-\frac{(a+b)^2}{4}> 7-4>0$

   Nên  $\frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{b+1}{b^2+11}$

   Tương tự suy ra  $\frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{b+1}{b^2+11}\geq \frac{c+1}{c^2+11}\geq \frac{d+1}{d^2+11}$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có:  $\sum (a-1).\frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{1}{4}(\sum a-4).\sum \frac{a+1}{a^2+11}=0$

Vậy có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-02-2015 - 18:49

[dogsteven]

Ta có $\sum \frac{1}{11+a^2} \le \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{a^2+11}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-1).\frac{a+1}{a^2+11}\geq 0$

Vì bất đẳng thức hoán vị nên ta giả sử $a\geq b\geq c\geq d$

          $\Rightarrow \frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{b+1}{b^2+11}\geq \frac{c+1}{c^2+11}\geq \frac{d+1}{d^2+11}$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có:  $\sum (a-1).\frac{a+1}{a^2+11}\geq \frac{1}{4}(\sum a-4).\sum \frac{a+1}{a^2+11}=0$

Vậy có đpcm

Ví dụ $a=1.97749, b=1.12331, c=0.468045$ thì bất đẳng thức này sai.

[hoanglong2k]

Ví dụ $a=1.97749, b=1.12331, c=0.468045$ thì bất đẳng thức này sai.

Đúng mà bạn

$a=1.97749, b=1.12331, c=0.468045\rightarrow d=0.431155$

$\frac{a+1}{a^2+11}-\frac{b+1}{b^2+11}=0.02652700087 $

$\frac{b+1}{b^2+11}-\frac{c+1}{c^2+11}=0.04231157535 $

$\frac{c+1}{c^2+11}-\frac{d+1}{d^2+11}=0.0022909863053$

[dogsteven]

Đúng mà bạn

$a=1.97749, b=1.12331, c=0.468045\rightarrow d=0.431155$

$\frac{a+1}{a^2+11}-\frac{b+1}{b^2+11}=0.02652700087 $

$\frac{b+1}{b^2+11}-\frac{c+1}{c^2+11}=0.04231157535 $

$\frac{c+1}{c^2+11}-\frac{d+1}{d^2+11}=0.0022909863053$

Á chết. Tính nhầm $d=4-a+b+c$

[tohka]

• cho tớ hỏi bài này
• cho x,y,z>0 tm x+y+z=xyz
• chứng minh
• $\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$
•