Chủ đề này có 2 trả lời

[zipienie]

Xác định tất cả các số tự nhiên $(x,y,z)$ sao cho $$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$$

Olimpiad Kazakhstan lớp 11 năm 2000 bài 4

Dịch trực tiếp từ tiếng Nga http://matol.kz/olympiads/114

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 24-02-2015 - 19:01

[nhungvienkimcuong]

Xác định tất cả các số tự nhiên $(x,y,z)$ sao cho $$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$$

Olimpiad Kazakhstan lớp 11 năm 2000 bài 4

Dịch trực tiếp từ tiếng Nga http://matol.kz/olympiads/114

xem ở đây

 

U-Th

[nhungvienkimcuong]

Xác định tất cả các số tự nhiên $(x,y,z)$ sao cho $$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$$

Olimpiad Kazakhstan lớp 11 năm 2000 bài 4

Dịch trực tiếp từ tiếng Nga http://matol.kz/olympiads/114

đặt $(x+1,y+1,z+1)\rightarrow (a,b,c)$ thì ta cần tìm $a,b,c\geq 2$ nguyên dương sao cho $a^b+1=(a+1)^c$

ta có 

$VT\equiv (-1)^b+1\equiv 0\equiv VP(mod\ a+1)\Rightarrow b$ lẻ

mặt khác

$VT\equiv C_b^1(a+1)(-1)^{b-1}+(-1)^b+1\equiv 0\equiv VT\left ( mod\ (a+1)^2 \right )\Rightarrow a+1\mid b\Rightarrow a$ chẵn

lại có

$VT\equiv 1\equiv C_c^1a+1(mod\ a^2)\Rightarrow a\mid c\Rightarrow c$ chẵn

do $a,c$ chẵn nên ta đặt $a=2a_1,c=2c_1$ do đó ta có 

$2^ba_1^b=\left [ (a+1)^{c_1}-1 \right ]\left [ (a+1)^{c_1}+1 \right ]$

ta có $\left ( (a+1)^{c_1}-1,(a+1)^{c_1}+1 \right )=2$ mà $2a_1\mid (a+1)^{c_1}-1$ nên

$\left\{\begin{matrix} (a+1)^{c_1}-1=2a_1^b\\(a+1)^{c_1}+1=2^{b-1} \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{b-1}>2a_1^b\Rightarrow a_1=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_1=1\\b=3 \end{matrix}\right.$

vậy phương trình có nghiệm $\boxed{(x,y,z)= (1,2,1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 30-04-2015 - 17:15