Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum a^2\sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^2}\geq \frac{9}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

   Đề bài thiếu các số thực không âm thì phải



#3
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

 

Giả sử $a=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$  

 

Đặt :  $\left\{\begin{matrix} b=a+x & \\ c=a+y & \end{matrix}\right.$  ( $x;y>0$ và $a<0$)

 

ĐPCM tương đương :  $(3a^{2}+2a(x+y)+x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{y^{2}})\geq \frac{9}{2}$

 

 $\Leftrightarrow f(a)=3a^{2}(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))+2a(x+y)(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))+A\geq 0$

 

trong đó :  

 

 $A=(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))+9x^{3}y^{3}-\frac{9}{2}x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$

 

Ta có :  $f^{'}(a)=6a(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))+2(x+y)(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))$  với mọi $a<0$

 

            $f^{''}(a)=6(x^{4}+y^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2}))$ 

 

Mặt khác ta có :  $f^{''}(a)>0\Rightarrow f^{'}(a)<0\Rightarrow f(a)>f(0)>0$  với mọi $a<0$

 

Vậy ta có ĐPCM


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Ta có bài toán mạnh hơn sau :  

$(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{(a-b)^{2}})\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho các số thực phân biệt a, b, c. Chứng minh

                             $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left [ \frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$

Đã có ở đây http://diendantoanho...92/#entry546345






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh