Bài 1: a) Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức sau:
$P=\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )\left ( \frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right )$
b) Thu gọn tổng sau $N=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$ với n > 1 và n là số tự nhiên
Bài 2: a) Cho 3 số nguyên x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh xyz chia hết cho 60
b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên.
Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$
b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4 & \\ \sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4 & \end{matrix}\right.$
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên BC và điểm I là trung điểm của HC.
a) Chứng minh rằng MH vuông góc với AI.
b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (điểm G khác điểm A). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.
Bài 5: Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.
Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1
Tìm GTNN của $M=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$