Chủ đề này có 6 trả lời

[Ngoc Hung]

Bài 1:  a) Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức sau: 

$P=\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )\left ( \frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right )$

b) Thu gọn tổng sau  $N=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$ với  n > 1 và n là số tự nhiên

 

Bài 2: a) Cho 3 số nguyên x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh xyz chia hết cho 60

           b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên.

 

Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$ 

b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4 & \\ \sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên BC và điểm I là trung điểm của HC.

            a) Chứng minh rằng MH vuông góc với AI.

            b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (điểm G khác điểm A). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.

 

 

Bài 5: Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.

 

 

Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1

           Tìm GTNN của $M=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

 

[Ngoc Hung]

Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1

           Tìm GTNN của $M=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

$x^{2}+xy+y^{2}=\frac{3}{4}(x+y)^{2}+\frac{1}{4}(x-y)^{2}\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$

Tương tự ta có $M\geq \sqrt{3}(x+y+z)=\sqrt{3}$

[hoctrocuaZel]

 

Bài 5: Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.

 

Hứng câu hình và BĐT (dễ)

Bài 5.

TH1: $a^2+(a+50)^2=b^2$.

Do đó, $b^2$ chia 4 dư $2$. Loại.

TH2: $a^2+b^2=(a+50)^2\Leftrightarrow b^2=100a+2500=10^2(a+25)\Rightarrow a=11;b=60;a+50=61$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1:  a) Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức sau: 

$P=\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )\left ( \frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right )$

b) Thu gọn tổng sau  $N=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$ với  n > 1 và n là số tự nhiên

 

Bài 2: a) Cho 3 số nguyên x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh xyz chia hết cho 60

           b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên.

 

Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$ 

b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4 & \\ \sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên BC và điểm I là trung điểm của HC.

            a) Chứng minh rằng MH vuông góc với AI.

            b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (điểm G khác điểm A). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.

 

 

Bài 5: Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được.

 

 

Bài 6: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1

           Tìm GTNN của $M=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN CÓ Ở ĐÂY http://dethi.violet....try_id/10946702

[Namthemaster1234]

Bài 5: TH1: Hai cạnh góc vuông là hai số nguyên tố. Gọi chúng là $x,y$, $x>y$ và $x-y=50$, $z$ là cạnh huyền

 

$Pythagorean\rightarrow x^2+y^2=z^2\Rightarrow y^2=(z-x)(z+x)$

 

Do y nguyên tố và $z-x<z+x$ nên $z-x=1$, $z+x=y^2$  $\Rightarrow 2x=y^2-1\Rightarrow 2(y+50)=y^2-1\Rightarrow y^2-2y-101=0 \Rightarrow (y-1)^2=102\Rightarrow y=\sqrt{102}+1\Rightarrow x=51+\sqrt{102}\Rightarrow z=52+\sqrt{102}$ (loại)

 

TH2: Một cạnh góc vuông và cạnh huyền là 2 số nguyên tố. Gọi chúng là $y,z$, $z-y=50$

 

$2z=y^2+1\Rightarrow 2(50+y)=y^2+1\Rightarrow y^2-2y-99=0\Rightarrow y=11 \Rightarrow z=61\Rightarrow x=60 $

 

Vậy giá trị nhỏ nhất mà cạnh thứ 3 có thể đạt được là 60

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 11-03-2015 - 19:47

[Namthemaster1234]

Bài 2: a) Cho 3 số nguyên x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh xyz chia hết cho 60

           b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên.

 

Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$ 

b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4 & \\ \sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 2 a,CM bằng phản chứng để chứng minh tồn tại một số chia hết cho 3,5,4 bằng cách xét modulo và nhận xét về số dư của một SCP chia cho 3,4,5

 

b,$0<\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\rightarrow \sum \frac{1}{x}=1$

 

Bài 3:

 

ĐKXĐ: $x$ khác 1

 

Đặt $x=a$ và $\frac{x}{x-1}=b$. Chú ý rằng : $ab=a+b=\frac{x^2}{x-1}$

 

$PT\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab-2=0\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+3ab-2=0\Leftrightarrow (ab)^3-3(ab)^2+3ab-1-1=0\Rightarrow (ab-1)^3-1=0\Leftrightarrow ab=2\Rightarrow <=>a(2-a)=2<=>a^2-2a+2=0\Rightarrow VN$

[manata36]

Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{3}}+\frac{3x^{2}}{x-1}-2=0$ 

b) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{4-y}=4 (1)& \\ \sqrt{2y+3}+\sqrt{4-x}=4(2) & \end{matrix}\right.

b) ĐKXĐ: $\frac{-3}{2}\leq x,y\leq 4$

Lấy (1)-(2) ta có: $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2y+3}-(\sqrt{4-x}-\sqrt{4-y})=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}}+\frac{1}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-y}})=0$

$\Leftrightarrow x=y$

Sau đó thế vào (1) ta tìm được x, y