Đến nội dung


Hình ảnh

CM:$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:QHH

Đã gửi 11-03-2015 - 09:23

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdan9aqxk: 11-03-2015 - 09:24


#2 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 11-03-2015 - 12:06

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$

$\sum (\frac{x^{2}+yz}{y+z}+x)=\sum \frac{(x+y)(x+z)}{y+z}$

Lại có

$\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}+\frac{(y+z)(x+z)}{x+y}\geq 2(x+z)$

CMTT được điều phải chứng minh


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3 nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 11-03-2015 - 12:12

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$

Ta có: $\frac{x^2+yz}{y+z} -x =\frac{x^2+yz-xy-zx}{y+z} =\frac{(x-z)(x-y)}{y+z}$
$\Rightarrow \frac{x^2+yz}{y+z} +\frac{y^2+zx}{z+x} +\frac{z^2+xy}{x+y} -(x+y+z) =\frac{(x-z)(x-y)}{y+z} +\frac{(y-x)(y-z)}{x+z} +\frac{(z-x)(z-y)}{x+y} =\frac{(x-z)(x-y)(x+y)(x+z) +(y-x)(y-z)(x+y)(y+z) +(z-x)(z-y)(z+x)(z+y)}{(x+y)(y+z)(z+x}$
  Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$ thì ta luôn có: $(z-x)(z-y)(z+y)(z+x) \geq 0$ (1)
Xét hiệu $(x-z)(x-y)(x+y)(x+z) -(x-y)(y-z)(x+y)(y+z)  =(x-y)(x+y)[(x-z)(x+z) -(y-z)(y+z)] =(x-y)(x+y)(x^2-y^2) =[(x-y)(x+y)]^2 \geq 0$ 
$\Rightarrow (x-z)(x-y)(x+y)(x+z) +(y-x)(y-z)(x+y)(y+z) \geq 0$ (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra: $(x-z)(x-y)(x+y)(x+z) +(y-x)(y-z)(x+y)(y+z) +(z-x)(z-y)(z+x)(z+y) \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(x-z)(x-y)(x+y)(x+z) +(y-x)(y-z)(x+y)(y+z) +(z-x)(z-y)(z+x)(z+y)}{(x+y)(y+z)(z+x} \geq 0$
$\Leftrightarrow  \sum \frac{x^2+yz}{y+z} -x \geq 0 \Leftrightarrow  \sum \frac{x^2+yz}{y+z} \geq x+y+z$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 11-03-2015 - 12:14


#4 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 04-05-2021 - 16:44

Cho x,y,z là các số thực dương.CM

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}\geq x+y+z$

Giả sử z=min{x,y,z}

$\sum \frac{x^{2}+yz}{y+z}- (x+y+z)=\frac{(x-y)^2(x+y)}{(y+z)(z+x)}+\frac{(z-x)(z-y)}{x+y}\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 16:46

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh