Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{\textrm{TOPIC}}$ ÔN THI VÀO $\boxed{\textrm{THPT CHUYEN}}$ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 150 trả lời

#61
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Câu 51:Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn:$a+b+c+\sqrt{abc}=4$.Tính giá trị biểu thức:$A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-a)(4-c)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$

Ta có $\sqrt{a(4-b)(4-c)}=\sqrt{a(16-4b-4c+bc)}=\sqrt{a(4\sqrt{abc}+4a+bc)}=\sqrt{a(2\sqrt{a}+\sqrt{bc})^{2}}=(2\sqrt{a}+\sqrt{bc})\sqrt{a}=2a+\sqrt{abc}$

Tương tự ta có $A=2(a+b+c)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=8$



#62
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 50.

 

Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$2a^2+(2-\sqrt3)b^2\geq 2(\sqrt3-1)ab$

$2a^2+(2-\sqrt3)c^2\geq 2(\sqrt3-1)ac$

$(\sqrt3-1)b^2+(\sqrt3-1)c^2\geq 2(\sqrt3-1)bc$

Cộng 3 bất đẳng thức trên ta được:

$4a^2+b^2+c^2\geq 2(\sqrt3-1)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq \frac{4a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}-2}\leq \frac{4}{2\sqrt3-2}=1+\sqrt3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-03-2015 - 11:26


#63
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 47

Ta có: $x^2-xy+y^2=\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2\geq \frac{1}{4}(x+y)^2$

           $\Rightarrow \sqrt{x^2-xy+y^2}\geq \frac{1}{2}(x+y)$

           $\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}\sum \frac{x+y}{(x+z)+(y+z)}$

Đặt $(a,b,c)=(x+y,y+z,z+x)\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

Vậy $S_{min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z$



#64
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 2. a) Đặt $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ với $0\leq a_{\overline{0,n}}\leq 6$

Ta có: $P(6)=1994\Rightarrow a_0+6a_1+36a_2+216a_3+1296a_4+7776a_5+...6^na_n=1994$

           $\Rightarrow n\leq 4$

           $\Rightarrow 1994=P(6)=a_0+6a_1+36a_2+216a_3+1296a_4\geq 259+1296a_4$

           $\Rightarrow a_4=1$

           $\Rightarrow 698=a_0+6a_1+36a_2+216a_3\geq 43+216a_3\Rightarrow a_3 \leq 3$

Lại có: $ 698=a_0+6a_1+36a_2+216a_3\leq 6+6.6+36.6+216a_3\Rightarrow a_3>2$

           $\Rightarrow a_3=3$

           $50=a_0+6a_1+36a_2\geq 1+6+36a_2\Rightarrow a_2\leq 1\Rightarrow a_2=1$

           $\Rightarrow 14=6a_1+a_0\Rightarrow a_1=2;a_0=2$

Vậy $P(x)=x^4+3x^3+x^2+2x+2$

b) Lập luận tương tự ta có: $P(x)=x^4+3x^3+x^2+5x+2$

Một cách nhanh hơn cho bài này.

(a) $1994=13122_{(6)}$ nên $P(x)=x^4+3x^3+x^2+2x+2$

(b) Tương tự.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#65
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 48

Để $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là số hữu tỉ thì $1+p+p^2+p^3+p^4$ phải là bình phương của một số hữu tỉ mà $p$ nguyên tố nên $1+p+p^2+p^3+p^4$ phải là số chính phương

Đặt $1+p+p^2+p^3+p^4=t^2$ với $t\in \mathbb{Z}$

Ta có: $4t^2=(2p^2+p)^2+3p^2+4p+4$

           $\Rightarrow (2p^2+p)^2+4(2p^2+p)+4> 4t^2> (2p^2+p)^2$

           $\Leftrightarrow (2p^2+p+2)^2> 4t^2> (2p^2+p)^2$

           $\Rightarrow 4t^2=(2p^2+p+1)^2$

           $\Rightarrow (2p^2+p)^2+3p^2+4p+4=(2p^2+p)^2+4p^2+2p+1$

           $\Leftrightarrow p^2-2p-3=0\Rightarrow (p+1)(p-3)=0\Rightarrow p=3$ ( vì $p$ nguyên tố )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-03-2015 - 18:09


#66
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 52: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{a}{a^2+b^2+1}+\frac{b}{b^2+c^2+1}+\frac{c}{c^2+a^2+1} \leq 1$

Câu 53: Cho 3 số thực $a,b,c$ sao cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$.

Tìm GTLN: $P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

Câu 54: Cho $x_1,x_2,x_3$ là 3 nghiệm của phương trình $x^3=3x-1$. Tính $x_1^2+x_2^2+x_3^2$

Câu 55: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh: $\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}\geq 4xyz$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-03-2015 - 18:05


#67
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Câu 48

Để $\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}$ là số hữu tỉ thì $1+p+p^2+p^3+p^4$ phải là bình phương của một số hữu tỉ mà $p$ nguyên tố nên $1+p+p^2+p^3+p^4$ phải là số chính phương

Đặt $1+p+p^2+p^3+p^4=t^2$ với $t\in \mathbb{Z}$

Ta có: $4t^2=(2p^2+p)^2+3p^2+4p+1$

           $\Rightarrow (2p^2+p)^2+4(2p^2+p)+4> 4t^2> (2p^2+p)^2$

           $\Leftrightarrow (2p^2+p+2)^2> 4t^2> (2p^2+p)^2$

           $\Rightarrow 4t^2=(2p^2+p+1)^2$

           $\Rightarrow (2p^2+p)^2+3p^2+4p+1=(2p^2+p)^2+4p^2+2p+1$

           $\Leftrightarrow p(p-2)=0\Rightarrow p=2$ ( vì $p$ nguyên tố )

Hình như phải là $(p+1)(p-3)=0$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#68
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

 

Câu 55: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh: $\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}\geq 4xyz$ 

AM-GM: $2x^2+y^2+z^2=x^2+x^2+y^2+z^2\geq 4x\sqrt{yz}$

$\Rightarrow \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}\geq \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}$

CMTT:$\frac{2y^2+x^2+z^2}{4-xz}\geq \frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz};\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\geq \frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}$

Khi đó ta cần CM:$\sum \frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}\geq 4xyz\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{yz}(4-yz)}\geq 1$

$\left ( \sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz} \right )\rightarrow (a;b;c)$

$x+y+z\geq \sum \sqrt{xz}\Leftrightarrow 3\geq \sqrt{xy}\Leftrightarrow 3\geq a+b+c$

Khi đó ta cần CM:$\sum \frac{1}{a(4-a^2)}\geq 1$

Ta có:$\frac{1}{a(4-a^2)}\geq -\frac{1}{9}a+\frac{4}{9}$

(Cái này xét hiệu là ra luôn)

CMTT rồi công cả ba vế lại ta có ĐPCM



#69
GeminiKid

GeminiKid

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

 

Câu 54: Cho $x_1,x_2,x_3$ là 3 nghiệm của phương trình $x^3=3x-1$. Tính $x_1^2+x_2^2+x_3^2$

 

$x^{3}=3x-1\Leftrightarrow x^{3}-3x+1=0$

áp dụng hệ thức Vi-et có $\sum x_{1}=0,\sum x_{1}x_{2}=-3\Rightarrow \sum x_{1}^{2}=\left (\sum x_{1} \right )^{2}-2\sum x_{1}x_{2}=0-2(-3)=6$



#70
GeminiKid

GeminiKid

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

 

Câu 53: Cho 3 số thực $a,b,c$ sao cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$.

Tìm GTLN: $P=\frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

 

pt có 2 nghiệm => a khác 0

=> $P= \frac{\left ( 1-\frac{b}{a} \right )\left ( 2-\frac{b}{a} \right )}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}$ (chia cả tử và mẫu của P cho a^2 khác 0)

theo định lí vi-et có $m= x_{1}+x_{2}= \frac{-b}{a},n=x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$ (với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình)

$P= \frac{\left ( 1+m \right )\left ( 2+m \right )}{1+m+n}= 3+\frac{m^{2}-3n-1}{m+n+1}$

gs $x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow x_{1}^{2}\leq x_{1}x_{2}$

do $x_{1},x_{2} \in \left [ 0;1 \right ]$$x_{2}^{2}\leq 1$

$\Rightarrow m^{2}-3n-1= x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}-1\leq 0$

$\Rightarrow P\leq 3$

 dấu "=" $\Leftrightarrow x_{1}=0\Leftrightarrow c=0$
     hoặc $x_{1}=x_{2}=1\Leftrightarrow \frac{b}{a}=- 2,\frac{c}{a}= 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GeminiKid: 24-03-2015 - 20:19


#71
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 55 ( Cách khác )

Ta có: $\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}\geq 2\sum \frac{xy+xz}{4-yz}$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{y+z}{2yz(4-yz)}\geq 1$

Mặt khác: $\sum \frac{y+z}{2yz(4-yz)}$

                $\geq \sum \frac{1}{\sqrt{xz}(2-\sqrt{yz})(2+\sqrt{yz})}$

                $\geq \sum \frac{1}{2+\sqrt{yz}}$

                $\geq \frac{9}{6+\sum \sqrt{yz}}\geq \frac{9}{6+3}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$



#72
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Câu 52:

Áp dụng AM-GM ta có:

$a^2+1\geq 2a$ Vậy nên $a^2+b^2+1\geq 2a+b^2$

Nên $VT\leq \frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^2}+\frac{c}{2c+a^2}= \frac{1}{2+\frac{b^2}{a}}+\frac{1}{2+\frac{c^2}{b}}+\frac{1}{2+\frac{a^2}{c}}$

Có $\frac{b^2}{a}.\frac{c^2}{b}.\frac{a^2}{c}=abc=1$

Vậy nếu đặt $x=\frac{b^2}{a},y=\frac{c^2}{b},z=\frac{a^2}{c}$ ta có $xyz=1$ và ta sẽ đi CM:

 

$\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}\leq 1$ (đây là 1 kq khá quen thuộc)



#73
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

Câu 56 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a+b+c=2. CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

Câu 57:CMR: $(1+1998x)^{1997}< (1+1997x)^{1998}$ với x>0

Câu 58: Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}+$ :x+y+z=2015.CM:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}$ $\geq 2015$

Câu 59: Cho x,y là các số thực thỏa mãn:

$x^{3}+y^{3}+3\left ( x^{2} +y^{2}\right )+4\left ( x+y \right )+4= 0$

 và xy>0. Tìm GTLN của M sau đây :M =$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Câu 60:Cho a,b,x,y là các số thực , $ab\neq 0; a+b\neq 0, x^{2}+y^{2}=1 , \frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$.

CM : $\frac{x^{8}}{a^{3}}+\frac{y^{8}}{b^{3}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}$

PS: Trong diễn đàn có muôn vàn topic sao mình biết hết được nó có trùng hay không  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 25-03-2015 - 21:51


#74
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

 

Câu 58: Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}+$ :x+y+z=2015.CM:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}$

 

Chứng minh cái gì vậy bạn?



#75
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Câu 56 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a+b+c=2. CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc< 2$

 

Xem lời giải tại ĐÂY

Chú ý: Bạn ghi đề ra cho rõ ràng và xem thử bài bạn cần post đã có trên diễn đàn hay chưa ?



#76
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

 

Câu 58: Cho $x,y,z\epsilon \mathbb{R}+$ :x+y+z=2015.CM:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}$ $\geq 2015$

 

Ta có:$(x^4+y^4)(x^2+y^2)\geq (x^3+y^3)^2$

Vậy $VT\geq \sum \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

Tiếp tục sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$VT\geq \sum \frac{x^2+y^2}{x+y}$

Mà $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

Từ đó ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 25-03-2015 - 21:38


#77
ABCchamhoc

ABCchamhoc

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Câu 61:Cho $1010$ số tự nhiên phân biệt không vượt quá $2015$  trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác. CMR :Trong các số được chọn luôn tìm được 3 số  sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại.

                                                                                      (thi thử Chuyên Nguyễn Huệ)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 29-03-2015 - 21:29


#78
medokung

medokung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Câu 62:Cho tam giác $ABC$,đường tròn nội tiếp tâm $I$.$D1,E1$ là tiếp điểm của đường tròn với $CB,CA$.$D2,E2$ là các điểm thuộc $CB,CA$ sao cho $CD2 = BD1$ và $CE2 = AE1$. $AD2$ cắt $BE2$ tại $P$. Đường tròn tâm $I$ cắt $AD2$ tại $Q$($Q$ là điểm ở gần $A$).CM: $AQ = D2P$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 29-03-2015 - 21:31


#79
medokung

medokung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

cho các số thực dương a,b,c sao cho a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ = 1. CMR:

 

$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} + \sqrt{\frac{bc+2a^{2}}{1+bc-a^{2}}}+\sqrt{\frac{ca+2b^{2}}{1+ac-b^{2}}}\geq 2+ab+bc+ca$



#80
Phanbalong

Phanbalong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Chứng minh cái gì vậy bạn?

lớn hơn hoặc bằng 2015 , :icon6:  chăc vậy


'' Để Đạt Được Thành Tích Bạn Chưa Từng Đạt Được, Bạn Phải Làm Những Việc Mà Bạn Chưa Tứng Làm''





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh