Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

Cho tam giác ABC với 3 cạnh $BA=c, BC=a,AC=b$ , bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$ , bán kính đường tròn nội tiếp là $r$. Chứng minh $\frac{r}{R}\leq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(a+b+c)^{2}}$

[dogsteven]

Bất đẳng thức tương đương với $(a+b+c)^2(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leqslant 3abc(ab+bc+ca)$

Bất đẳng thức này chứng minh đơn giản bằng $S-S$

[dinhnguyenhoangkim]

$S-S$ là gì vậy ? Bạn chứng minh hết luôn đi

[dogsteven]

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(a+b+c)^2(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$

Ta cần chứng minh $(a^2+b^2+c^2)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leqslant abc(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b-c)(a-b)^2+c\left[(a-b)^2+c^2+ab\right](a-c)(b-c)\geqslant 0$ luôn đúng.