Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2+1}}\geq x+y+z+3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:

$\sum \frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2+1}}\geq x+y+z+3$



#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:

$\sum \frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2+1}}\geq x+y+z+3$

$x;y;z$ không âm, đề là $\sum \frac{(x+1)(y+1)^2}{\sqrt[3]{x^2z^2+1}}\geq x+y+z+3$ chứ nhỉ?

 

Đặt $a=x+1;b=y+1;c=z+1$

BĐT trở thành: $\sum \frac{ab^2}{\sqrt[3]{\left [(a-1)(c-1)  \right ]^2+1}}\ge a+b+c$

 
$(a-1)^2(b-1)^2+1\le a^2b^2$
$\Leftrightarrow (a+b-1)(2ab+1-a-b)\ge 1$ (Đúng do $a;b;c\ge 1$)
$VT=\sum \frac{ab^2}{\sqrt[3]{\left [(a-1)(c-1)  \right ]^2+1}}\ge \sum \frac{ab^2}{\sqrt[3]{a^2c^2}}=\sum \frac{b^2}{\sqrt[3]{\frac{c^2}{a}}}\ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum \sqrt[3]{\frac{c^2}{a}}}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c=VP.$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh