Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}\geq \frac{1}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Linhh Chii

Linhh Chii

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 $\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}$ 



#2
dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Vì $a, b, c>0$ thỏa $abc= 1$  nên tồn tại các số dương $x, y, z$ sao cho $a= \frac{x}{y};b= \frac{y}{z};c= \frac{z}{x}$

Cần chứng minh $A=\sum \frac{\frac{x^2}{y^2}}{\left ( \frac{x}{z}+2 \right )\left ( \frac{2x}{z}+1 \right )}\geq \frac{1}{3}$

Ta có: $A= \sum \frac{x^2z^2}{\left ( xy+2yz \right )\left ( 2xy+yz \right )}\geq \sum \frac{4x^2z^2}{9\left ( xy+yz \right )^2}\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{zx}{xy+yz} \right )^2\geq \frac{4}{9}.\frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{2} \right )^2= \frac{1}{3}$

    $\Rightarrow$ đpcm              



#3
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 $\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}$ 

Chắc là c/m bạn nhỉ ;)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}$

$\geq \frac{4a^2}{(ab+2+2ab+1)^2}+\frac{4b^2}{(bc+2+2bc+1)^2}+\frac{4c^2}{(ca+2+2ca+1)^2}$

$=\frac{(2a)^2}{(3ab+3)^2}+\frac{(2b)^2}{(3bc+3)^2}+\frac{(2c)^2}{(3ca+3)^2}$

$\geq \frac{1}{3}(\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3})^2$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3}\geq 1$

                                          $\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$      (1)

Vì $abc=1$ nên ta đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow \frac{xz}{xy+yz}+\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}\geq \frac{3}{2}$  ( luôn đúng theo bất đẳng thức $Nesbitt$ )

Chứng minh xong ;)



#4
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

BĐT cần chứng minh  tương đương với:

$\sum \frac{1}{(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT AM-GM có:$(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})\leq \frac{1}{4}(3b+\frac{3}{a})^2=\frac{1}{4}(3b+3bc)^2$

Do vậy $VT\geq \frac{4}{9}(\sum \frac{1}{(b+bc)^2})$

Áp dụng BĐT dạng $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ 

Ta có $VT\geq \frac{4}{27}(\sum \frac{1}{b(1+c)})^2$

Áp dụng tiếp BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta có đpcm


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#5
Linhh Chii

Linhh Chii

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

@hoanglong2k :  :namtay đúng là CM đó bạn



#6
Linhh Chii

Linhh Chii

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Chắc là c/m bạn nhỉ ;)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}$

$\geq \frac{4a^2}{(ab+2+2ab+1)^2}+\frac{4b^2}{(bc+2+2bc+1)^2}+\frac{4c^2}{(ca+2+2ca+1)^2}$

$=\frac{(2a)^2}{(3ab+3)^2}+\frac{(2b)^2}{(3bc+3)^2}+\frac{(2c)^2}{(3ca+3)^2}$

$\geq \frac{1}{3}(\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3})^2$ *

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3}\geq 1$

                                          $\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$      (1)

Vì $abc=1$ nên ta đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow \frac{xz}{xy+yz}+\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}\geq \frac{3}{2}$  ( luôn đúng theo bất đẳng thức $Nesbitt$ )

Chứng minh xong ;)

Ở chỗ * là $\frac{1}{3}$ hay 3 vậy long??



#7
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Ở chỗ * là $\frac{1}{3}$ hay 3 vậy long??

là $\frac{1}{3}$, ở đây bạn dùng bất đẳng thức $(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$

$\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx $

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ nhé ;)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-03-2015 - 22:34





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh