Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$
CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$
CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$
Friend Ship
A friend is someone you
can be alone with and have nothing
to do and not be able to think of anything to say
and be comfortable
in the silence
- Sheryl Condie -
đề có dấu bằng thì phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 15-03-2015 - 20:10
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$
CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$
$A=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}$
Áp dụng BĐT svac :
$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}$
Ta lại có :
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca => ab+bc+ca \leq 1$
$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)=> (a+b+c)^2 \geq 3$ ( 2 bđt này bạn tự cm )
Thay vào A ta có :
$A \geq \frac{3}{5} $
dấu "=" khi $ a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
"ấn " thích nha bạn
~YÊU ~
$A=\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}$
Áp dụng BĐT svac :
$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}$
Ta lại có :
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca => ab+bc+ca \leq 1$
$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)=> (a+b+c)^2 \geq 3$ ( 2 bđt này bạn tự cm )
Thay vào A ta có :
$A \geq \frac{3}{5} $
dấu "=" khi $ a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
"ấn " thích nha bạn
chỗ màu đỏ bị ngược dấu bạn ơi
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
chỗ màu đỏ bị ngược dấu bạn ơi
uk...mk bị nhầm dấu rồi :3
~YÊU ~
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$
CMR: A= $\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab}$ $> \frac{3}{5}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$:
$A=\frac{a^{2}}{1+2bc} + \frac{b^{2}}{1+2ac} + \frac{c^{2}}{1+2ab} $
$=\frac{a^4}{a^2+2a^2bc}+\frac{b^4}{b^2+2b^2ac}+\frac{c^4}{c^2+2c^2ab}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab.bc+bc.ca+ca.ab)}$
$\geq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{1}{1+\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}$
$=\frac{5}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt3}$
Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$
Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)
Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$
$\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)
Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$
$\Rightarrow$ đpcm
dùng b.c.s ra ngay m
Từ giả thiết suy ra $a, b, c\in \left ( 0;1 \right )$
Ta có: $A\geq \sum \frac{a^2}{1+b^2+c^2}= \sum \frac{a^2}{2-a^2}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2}{2-x^2}\geq \frac{18}{25}x^2-\frac{1}{25},\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (1)
Ta có: (1) $\Leftrightarrow 25x^2\geq \left ( 18x^2-1 \right )\left ( 2-x^2 \right ),\forall x\in \left ( 0;1 \right )$
$\Leftrightarrow \left ( 3x^2-1 \right )^2\geq 0,\forall x\in \left ( 0;1 \right )$ (đúng)
Vậy $A\geq \frac{18}{25}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-\frac{3}{25}= \frac{18}{25}-\frac{3}{25}= \frac{3}{5}$
$\Rightarrow$ đpcm
bạn có thể giải thích cho mình tại sao nghĩ ra phần màu đỏ được không
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh