Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. 

Chứng minh rằng $ab+bc+ca\geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

[Lee LOng]

Đặt $ab+bc+ac=x, abc=y (x,y\geq 0)$. Ta có:$x\leq \frac{1}{3}$

BĐT$\Leftrightarrow x\geq 8(1-2x)(x^{2}-2y)$

$\Leftrightarrow 16x^{3}-8x^{2}+x\geq 16y(2x-1)$

Lại có: $0\leq VT;VP\leq 0$

$\Rightarrow Đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 20-03-2015 - 12:38

[KietLW9]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. 

Chứng minh rằng $ab+bc+ca\geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

Đặt $ab+bc+ca=x$ thì $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc\leqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2=x^2$ và $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=1-2x$

Như vậy, ta cần chứng minh: $8(1-2x)x^2\leqslant x\Leftrightarrow x(4x-1)^2\geqslant 0(True)$

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng $\frac{1}{2}$ và 1 số bằng 0