Đến nội dung


Hình ảnh

Đề học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12, 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 mathbg

mathbg

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-03-2015 - 19:38

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12  (20/3/2015)

 

TỈNH BẮC GIANG

 

 

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

 

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

 

Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.

 

Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$

 

Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.

 

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

 

Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\dfrac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.

 

Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$

 

Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.



#2 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 29-03-2015 - 08:56

 

 

 

Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{c^2}{(a+b-c)^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$.

 

Lời giải câu 10 : Nguồn copy :))Untitledbat dang thuc bac giang.png



#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-12-2015 - 21:57

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

 

 

Ta có:

$$\left ( \frac{x+2}{2x-1} \right )'=-\frac{5}{(2x-1)^2}<0, \quad \forall x \neq \frac{1}{2}$$

Dễ thấy hệ số góc của $d$ là $-\frac{2}{3}$. Gọi $k<0$ là hệ số góc của tiếp tuyến, ta có:

$$ \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{{2k}}{3}}}} \right| =1 \Leftrightarrow k =-5$$
 

Với $k=-5$, ta có hoành độ tiếp điểm $x_1=0, x_2=1$. Từ đó, ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$$y=-5x-2; \quad y=-5x+8$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-12-2015 - 23:09

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=f(x) = mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất

 

TXĐ: $\mathbb{R}$.

Ta có:

$$f'(x) = 3mx^2-6mx + 2m+1$$

Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với:

$$\begin{cases} m \neq 0\\  \Delta ' = 9m^2-3m(2m+1)> 0 \end{cases} \Leftrightarrow  m \in (- \infty ; 0) \cup (1; +\infty)$$

Chia $f(x)$ cho $f'(x)$, ta có:
$$f(x)=\left ( \frac{x}{3}-\frac{1}{3} \right )f'(x)+\left ( -\frac{2m}{3} +\frac{2}{3}\right )x+\frac{10}{3}-\frac{m}{3}$$
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
$$ \left ( -\frac{2m}{3} +\frac{2}{3}\right )x+\frac{10}{3}-\frac{m}{3} \Leftrightarrow 2(1-m)x-3y+10-m=0$$
Dễ thấy đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm $C\left ( -\frac{1}{2};3 \right )$. Do đó: 
$$d_{(I,AB)}\leq IC$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$AB \bot IC \Leftrightarrow  3.1 + \frac{3}{4}.2(1-m) = 0 \Leftrightarrow m = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}$$
Vậy $m=3$ là đáp án của bài toán

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 17-12-2015 - 23:04

 

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

 

 

Số tam giác có $3$ đỉnh là đỉnh của $(H)$ là $C_n^3$.

Ứng với mỗi đỉnh của $(H)$ có 1 tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng hai cạnh là cạnh của $(H)$. Vậy số tam giác loại này là $n$.

Với mỗi cạnh của $(H)$, ta có thể chọn 1 trong số $n-4$ đỉnh của $(H)$ để tạo thành một tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của $(H)$. Do đó số tam giác loại này là $n(n-4)$.

Số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ là: $C_n^3-n-n(n-4)$

Theo giả thiết:

$$C_n^3-n-n(n-4) = 5n(n-4)$$

Giải phương trình trên với điều kiện $n > 4$ ta được $n=35$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#6 phuongtrinh2988

phuongtrinh2988

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dân vùng 38
  • Sở thích:Đá bóng,đọc sách

Đã gửi 23-12-2015 - 20:57

Câu 6 hình không gian có sai đề không nhỉ?


Nguyễn Trần Phương Trình


#7 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 26-12-2015 - 22:19

Câu 5.

Dễ thấy $x=0;x=\frac{1}{2},x=1$ thỏa mãn phương trình.

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\frac{3.4^x}{2+4^x} -x - 1 = 0$$

Xét hàm số $f(x) = \frac{3.4^x}{2+4^x} -x - 1$.

Ta có $f'(x)=\frac{-4^{2x}+(6\ln 4 - 4)4^x  - 4 }{(2+4^x)^2}.$ Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $a,b$. Ta có bảng biến thiên của hàm số $f(x)$. Dựa vào BBT ta thấy phương trình đã cho có tối đa 3 nghiệm.

 

Vậy phương trình có đúng ba nghiệm $x=0;x=\frac{1}{2},x=1$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 27-12-2015 - 00:13

Câu 6. 

A.png

 

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CC'$. Ta có $OH=a$.

Đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AB$, cắt $CB,CA$ lần lượt tại $K,J$.

Khi đó $CC' \bot (HJK)$. Suy ra $\widehat{KHJ}$ bằng hoặc bù với góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$. Dễ thấy $\widehat{KHJ} > \widehat{ACB}=60^o$ nên $\widehat{KHJ}   = 120^0 = 2\alpha$,

$$AB=\frac{3}{2}JK = 3a\tan \alpha$$

$$\frac{1}{C'O^2} = \frac{1}{OH^2} - \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2}-\frac{1} {3a^2\tan^2\alpha}=\frac{3\tan^2\alpha-1}{3a^2\tan^2\alpha}$$

$\Rightarrow h = C'O = \frac{a\sqrt{3}\tan \alpha}{\sqrt{3\tan^2\alpha-1}}$

Vậy 

$$V_{ABC.A'B'C'} = \frac{\sqrt{3}}{4}.9a^2\tan^2 \alpha. \frac{a\sqrt{3}\tan \alpha}{\sqrt{3\tan^2\alpha-1}} = \frac{27a^3\tan^3 \alpha}{4\sqrt{3\tan^2\alpha-1}} = \frac{81a^3\sqrt{6}}{16}$$

 

Gọi $D,F$ lần lượt là trung điểm $AB,A'B'$. Dễ thấy $DF$ là hình chiếu của $CC'$ lên $(ABB'A')$.

 

$$d_{(CC',AB')} = d_{CC',(ABB'A'))} = d_{(CC',DF)}= \frac{3}{2}HO=\frac{3a}{2}$$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 27-12-2015 - 14:40

Câu 7

Dễ thấy đường thẳng $d$ đi qua $M(2;3;-3)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{n}=(4;2;1)$. Ta chỉ cần tìm điểm đi qua của $\Delta$. Giả sử điểm $A(a;b;c) \in \Delta$ sao cho $MA=\sqrt{14}$. Vì $A \in (P), \overrightarrow{MA}\bot \overrightarrow{n}$, nên:

 $$\begin{cases}(a-2)^2+(b-3)^2+(c+3)^2=14 \\ 4(a-2)+2(b-3)+(c+3)=0 \\ a-b-2c-5=0\end{cases}$$

Giải hệ phương trình ta tìm được $A$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#10 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-12-2015 - 15:11

Hướng dẫn các câu còn lại:

Câu 4. Chia cả tử và mẫu cho $x^2$. Ta được $\int \frac{1}{\left ( \frac{\ln x}{x} \right )^2-1}d\left ( \frac{\ln x}{x} \right )$

Câu 8. Viết được PT đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn cắt đường phân giác tại $D$. Vì $BC \bot ID$ nên chỉ cần tìm 1 điểm trên $BC$ là xong. Dựa vào độ dài $BC$ và $IA$ ta tính được điểm đó.

 

Câu 9: PT 1 của hệ giải bằng đánh giá, thu được $x=y$. 

Thay vào phương trình 2, giải bằng phương pháp hàm số $x=y= \frac{1}{2}$


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh