Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTLN của $P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc$



#2
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTLN của $P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc$

Giả sử $c$ là số nằm giữa $a$ và $b$

$\Rightarrow b(a-c)(b-c)\leq 0\Leftrightarrow P\leq c(a^2+b^2)$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$P=\sqrt{\frac{2c^2(a^2+b^2)^2}{2}}\leq \sqrt{\frac{8(a^2+b^2+c^2)^3}{27.2}}=2$

Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)=(0;1;\sqrt{2});(\sqrt{2};0;1);(1;\sqrt{2};0);(1;1;1)$

Vậy Max $P=2$ 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$ khi đó ta có $a(b-a)(b-c)\leqslant0\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc=3b-b^3+abc=2-(b-1)^2(b+2)+abc\leqslant 2+abc\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\leqslant 2$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh