Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.
CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.
CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$
Mình học lớp 8 nên các bạn giải theo cách lớp 8 nha!!!!!!!!!
Mình học lớp 8 nên các bạn giải theo cách lớp 8 nha!!!!!!!!!
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.
CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$
$\frac{2}{4-ab}=1-\frac{2-ab}{4-ab}=1-\frac{(2-ab)(2+ab)}{(4-ab)(2+ab)}=1-\frac{4-a^2b^2}{8+2ab-a^2b^2}$
$8+2b-a^2b^2=9-(ab-1)^2\leq 9$
$\Rightarrow \frac{2}{4-ab}\leq 1-\frac{4-a^2b^2}{9}= \frac{5}{9}+\frac{a^2b^2}{9}\leq \frac{5}{9}+\frac{a^4+b^4}{18}$
CMTT:$\frac{2}{4-bc}\leq \frac{5}{9}+\frac{b^4+c^4}{18};\frac{2}{4-ac}\leq \frac{5}{9}+\frac{a^4+c^4}{9}$
Bởi vậy $\sum \frac{1}{4-ab}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{15}{9}+\frac{\sum a^4}{9} \right )=1$
Vì a,b,c dương và $a^4+b^4+c^4=3$ nên $0<a,b,c<\sqrt[4]{3}\Rightarrow 0<ab,bc,ca<\sqrt{3}<2$
Xét BĐT phụ: $\frac{1}{4-ab}\leq \frac{(ab)^2+5}{18}\Leftrightarrow \frac{(2-ab)(ab-1)^2}{18(4-ab)}\geq 0(true)$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $VT\leq \frac{\sum (ab)^2+15}{18}\leq \frac{\sum a^4+15}{18}=1$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh