Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm 2014-2015
#1
Đã gửi 24-03-2015 - 22:09
#2
Đã gửi 24-03-2015 - 22:24
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI : TOÁN (150 PHÚT)
Câu 1
a) Tình giá trị biểu thức $A=2x^3+3x^2-4x+2$
với $ x= \sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1$
b) Cho x,y thỏa mãn :
$\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-y}$
Chứng minh $x=y$
Câu 2
a) Giải phương trình $x^3+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^3$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}3x^2+xy-4x+2y=2 & \\ x(x+1)+y(y+1)=4 & \end{matrix}\right.$
Câu 3
a) Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2 p^2-1;2p^2+3;3p^2+4$ đều là số nguyên tố
b)Tìm các số nguyên dương $ x,y,z $ thỏa mãn $ :3x^2-18y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=27$
Câu 4
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn . AB , AC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 tương ứng là E và D . Trên cung BC không chứa D lấy F (F khác B,C). AF cắt BC tại M , cắt (O;R) tại N(N khác F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P (P khác A)
a) giả sử $\widehat{BAC}=60^o$ , tính DE theo R
b) Chứng minh $AN.AF=AP.AM$
c) Gọi I,H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD,BC . Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K . Tìm vị trí của F trên cung BC để $\frac{BC}{FH}+\frac{BD}{FI}+\frac{CD}{FK}$ min .
Câu 5
Cho các số dương x,y,z thay đổi thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$ Tìm Max:
$M=\sum \frac{1}{4x+3y+z}$
- Ngoc Hung, Dinh Xuan Hung, hoctrocuaZel và 8 người khác yêu thích
$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$
#3
Đã gửi 24-03-2015 - 22:25
mình chém câu 5 trước nha
ta có $\sum \frac{1}{x}=1$
$M=\sum \frac{1}{(x+z)+3(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}.(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})=\frac{1}{16}\sum \frac{4}{x+y}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\doteq \frac{1}{8}.\sum \frac{1}{x}=\frac{1}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 24-03-2015 - 22:30
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
#4
Đã gửi 24-03-2015 - 22:32
mình chém câu 5 trước nha
ta có $\sum \frac{1}{x}=1$
$M=\sum \frac{1}{(x+z)+3(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}.(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})=\frac{1}{16}\sum \frac{4}{x+y}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\doteq \frac{1}{8}.\sum \frac{1}{x}=\frac{1}{8}$
là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm
#5
Đã gửi 24-03-2015 - 22:36
là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm
Áp dụng AM-GM: $\frac{1}{(x+z)+3(x+y)}=\frac{1}{(x+z)+(x+y)+(x+y)+(x+y)}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y})=\frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})$
- marcoreus101 yêu thích
#6
Đã gửi 24-03-2015 - 22:37
là sao vậy bạn, mình chưa rõ lắm
chỗ đó $\sum \frac{1}{(x+z)+(x+y)+(x+y)+(x+y)}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y})=\sum \frac{1}{16}(\frac{1}{x+z}+\frac{3}{x+y})$
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
#7
Đã gửi 24-03-2015 - 23:01
Câu 1b) Ta có:
$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+2014}-\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}-\frac{x-y}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}+\frac{x-y}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}=0$
$\Leftrightarrow x=y$
Vì $\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}<\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}> \frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}+\frac{1}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}> \frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}$
Câu 2a thì có dạng $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-b\\ b=-c\\ c=-a \end{bmatrix}$
với $a=x$ ; $b=\sqrt{x+1}$ ; $c=\sqrt2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-03-2015 - 23:04
- terikodinh yêu thích
#8
Đã gửi 25-03-2015 - 12:05
Câu 3:
a/ Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4
xét p=7 dễ thấy đó là số cần tìm
giả sử $p^{2}$ chia 7 dư 1 => $3p^{2} +4$ chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên vô lí
tương tự với các TH $p^{2}$ chia 7 dư 2, dư 4, ta đều suy ra điều vô lí
=> p chia hết cho 7 nên p=7
b/ biến đổi biểu thức đã cho trở thành $3(x-3)^{2} + (3y^{2}+2)(z^{2}-6)=42$
từ biểu thức trên suy ra $z^{2} - 6$ chia hết cho 3
xét z <3, ta có:
z=2=>$z^{2} - 6 = -2$ không chia hết cho 3
z=1=> $z^{2} - 6 = -5$ không chia hết cho 3
suy ra $z\geq3$ => $(3y^{2}+2)(z^{2}-6) >0$
suy ra $(x-3)^{2}\leq9 $ lần lượt xét các giá trị của $(x-3)^{2}$ là 0;1;2;3 sau đó dựa vào $(3y^{2}+2)$ chia 3 dư hai, ta tìm đk 3 cặp nghiệm:
$(x;y;z)= (0;1;3);(6;1;3);(3;2;3)$
cái đề này câu BĐT quá dễ, các câu kia cũng từ khá dễ tới TB , thấy mỗi câu hệ khó, mà hầu như đề nào câu hệ cũng khó nhất.
em giải k ra câu hệ có thánh nhân nào GỢI Ý giúp em với.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long TDK: 25-03-2015 - 12:08
- huythcsminhtan, I Love MC, kunkon2901 và 1 người khác yêu thích
#9
Đã gửi 25-03-2015 - 17:19
em giải k ra câu hệ có thánh nhân nào GỢI Ý giúp em với.
trừ vế có $2x^{2}+xy-5x+y-y^{2}+2=0\Leftrightarrow 2x^{2}+x\left ( y-5 \right )-y^{2}+y+2=0$ (*)
(nháp :$ \Delta _{x}=\left ( y-5 \right )^{2}-4.2\left ( -y^{2} +y+2\right )= 9\left ( y-1 \right )^{2}$)
$(*)\Leftrightarrow \left ( x+y-2 \right )\left ( 2x-y-1 \right )=0$
đến đây ok r
- huythcsminhtan yêu thích
#10
Đã gửi 25-03-2015 - 17:57
Câu 4c các bác chém đi, tôi nghĩ mãi không ra. Đường Simson kiểu gì ấy nhỉ ? Tôi chỉ ý tưởng không biết đúng không : đánh giá Min tổng hai số hạng cuối, dấu đẳng thức khi F là điểm chính giữa cung BC.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banrau: 25-03-2015 - 18:01
#11
Đã gửi 25-03-2015 - 18:57
$4c. theo simson=>FK vuong gocDC=>FIDK: la hinh chu nhat.\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}=\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{DI}=\frac{DI-IB}{DK}+\frac{DK+KC}{DI}=\frac{DI}{DK}+\frac{DK}{DI}+\frac{KC}{DI}-\frac{BI}{IF}.Laico:\Delta BIF\sim \Delta CKF=>\frac{BI}{IF}=\frac{CK}{KF}=\frac{KC}{DI}=>\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}\geq 2.Dedangco \frac{BC}{FH}\geq 2=>P\geq 4.$
#12
Đã gửi 25-03-2015 - 20:58
câu 5 mình làm thử có vẻ giống cách của HoangViemDuy
từ xy+yz+zx=xyz $\rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1+1+1+1+1+1)^{2}}{4x+3y+z}=\frac{64}{4x+3y+z}$
CMTT rồi cộng 3 vế vào $\rightarrow \sum \frac{64}{4x+3y+z}\leq 8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=8\rightarrow \sum \frac{1}{4x+3y+z}\leq \frac{1}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onepiecekizaru: 25-03-2015 - 21:06
#13
Đã gửi 25-03-2015 - 22:16
$4c. theo simson=>FK vuong gocDC=>FIDK: la hinh chu nhat.\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}=\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{DI}=\frac{DI-IB}{DK}+\frac{DK+KC}{DI}=\frac{DI}{DK}+\frac{DK}{DI}+\frac{KC}{DI}-\frac{BI}{IF}.Laico:\Delta BIF\sim \Delta CKF=>\frac{BI}{IF}=\frac{CK}{KF}=\frac{KC}{DI}=>\frac{BD}{DK}+\frac{CD}{FK}\geq 2.Dedangco \frac{BC}{FH}\geq 2=>P\geq 4.$
Rất hay. Cảm ơn bạn.
- NguyenDangHuyYTNA yêu thích
#14
Đã gửi 26-03-2015 - 10:48
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI : TOÁN (150 PHÚT)
Câu 2
a) Giải phương trình $x^3+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^3$
Đặt $y=\sqrt{x+1};z=\sqrt{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$
- yeudiendanlamlam yêu thích
#15
Đã gửi 26-03-2015 - 13:42
Câu 3:
a/ Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4
cho mình hỏi tại sao xét chia cho 7 vậy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 26-03-2015 - 13:42
#16
Đã gửi 26-03-2015 - 17:05
vì khi xét p không chia hết cho 7 thì một trong 3 số đã cho sẽ chia hết cho 7, vô lí (vì cả ba số đó đều là số nguyên tố lớn hơn 7)
#17
Đã gửi 31-03-2015 - 14:09
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Hai Bang: 31-03-2015 - 14:17
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh