Chủ đề này có 4 trả lời

[dinhnguyenhoangkim]

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x+y+z=1.

Chứng minh $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{9}{10}$

[dogsteven]

$(INEQ)\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}\geqslant \dfrac{6}{5}$

Giả sử $(3b-1)(3c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow b^2+c^2\leqslant \dfrac{1}{9}+\left(b+c-\dfrac{1}{3}\right)^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}\geqslant \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}+\dfrac{(2-b-c)^2}{b^2+c^2+2}$

Đến đây dễ rồi.

[vda2000]

Cách khác:

Áp dụng $AM-GM$, ta có:

$x^2+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}x$

Do đó, $\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{x}{\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{9x}{6x+8}$

$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{6x}{6x+8}=\sum 1-\frac{8}{6x+8}\leq 3-8\frac{9}{\sum 6x+8}=3-\frac{72}{6(x+y+z)+24}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\frac{3}{2}(3-\frac{72}{30})=\frac{9}{10}$

 

 

^{Chết, đề không cho $x,y,z>0$}   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 27-03-2015 - 16:12

[shinichigl]

Cách khác:

Áp dụng $AM-GM$, ta có:

$x^2+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}x$

Do đó, $\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{x}{\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{9x}{6x+8}$

$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{6x}{6x+8}=\sum 1-\frac{8}{6x+8}\leq 3-8\frac{9}{\sum 6x+8}=3-\frac{72}{6(x+y+z)+24}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\frac{3}{2}(3-\frac{72}{30})=\frac{9}{10}$

x,y,z là số thực nên đâu có chỗ này đâu bạn

[nguyenhongsonk612]

x,y,z là số thực nên đâu có chỗ này đâu bạn

Tớ nghĩ chỗ đó vẫn được chứ cậu

Theo BĐT $AM-GM$ $x^2+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}|x|\geq \frac{2}{3}x$

 

Cách khác:

Áp dụng $AM-GM$, ta có:

$x^2+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}x$

Do đó, $\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{x}{\frac{2}{3}x+\frac{8}{9}}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{9x}{6x+8}$

$\Leftrightarrow\frac{2}{3}\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum\frac{6x}{6x+8}=$$\sum 1-\frac{8}{6x+8}\leq 3-8\frac{9}{\sum 6x+8}$$=3-\frac{72}{6(x+y+z)+24}$

$\Leftrightarrow\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\frac{3}{2}(3-\frac{72}{30})=\frac{9}{10}$

 

 

^{Chết, đề không cho $x,y,z>0$}   

Tớ nghĩ chỗ này thi $x,y,z$ là số thực nên không thể áp dụng BĐT đó được.