Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhtuk33tp2]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR:

$\frac{a}{ab+b^{3}}+\frac{b}{bc+c^{3}}+\frac{c}{ca+a^{3}}\geq \frac{3}{2}$

[vandong98]

Ta có: $\frac{a}{ab+b^{3}}=\frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b(ab+b^{3})}\geq  \frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b.2\sqrt{ab.b^{3}}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

do đó: $VT\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \sqrt{3}\Rightarrow VT\geq t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$

sau đó xet hàm số: $f(t)= t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$ trên $[3;+\infty )$. từ đó suy ra đpcm  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vandong98: 28-03-2015 - 11:17

[binhnhaukhong]

Ta có: $\frac{a}{ab+b^{3}}=\frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b(ab+b^{3})}\geq  \frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b.2\sqrt{ab.b^{3}}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

do đó: $VT\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \sqrt{3}\Rightarrow VT\geq t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$

sau đó xet hàm số: $f(t)= t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$ trên $[3;+\infty )$. từ đó suy ra đpcm  

Có $\frac{1}{2\sqrt{a}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)$

Vậy $VT\geq \frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{3}{4}$

Mà ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 28-03-2015 - 16:40