Chủ đề này có 9 trả lời

[BlackZero]

Đề thi HSG 11 Quảng Trị 2014-2015 (Chuyên)

Câu 1:các số $a,b$ thực. Tìm cặp $(x,y)$ thõa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{a+b} & & \\ x^4-y^4=ax-by & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số mà số 1 và 2 xuất hiện mỗi số 5 lần, các số còn lại xuất hiện ko quá 1 lần, số 0 không xuất hiện và không 2 chữ số lớn hơn 2 nào đứng cạnh nhau.

Câu 3: Cho dãy số ${{x_n}}$,

 $x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+{x_n}^2}$, $n$ nguyên dương

a) Tìm CTTQ $x_n$

b) Tìm $lim\frac{x_n}{2^n}$

Câu 4: Cho đường tròn $(O)$ có các đường kính $AB$ $CD$. Tiếp tuyến đường trong tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$, đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$

a) CMR $AB$ là tiếp tuyến của $(AEF),(BCE)$

b) CMR $AF,BC,OE$ đồng quy

Câu 5:

a) Tìm all hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thõa mãn

$f(x^2)=f(x+y)f(x-y)+y^2$

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMR

$[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackZero: 04-04-2015 - 21:17

[BlackZero]

mod nào sửa lại giùm cái máy bị lỗi

[HoangVienDuy]

Đề thi HSG 11 Quảng Trị (Chuyên)

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMF $[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

hình như đề là    $[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

ta có  $[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq 9\Leftrightarrow \left [ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq 9$

ta chứng minh được $(x+y+z).\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$ nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 02-04-2015 - 14:08

[Melodyy]

CM câu bất:

Giả sử $a> b>c$

cm dc $\sum \frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{9}{(a-c)^{2}}$ nhờ vào bđt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

Sau đó đi cm $\sum a^{2}+\sum ab\geq \frac{(a-c)^{2}}{4}$ dựa vào định lí dấu tam thức bậc 2
Nhân lại là xong

[Kofee]

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số mà số 1 và 2 xuất hiện mỗi số 5 lần, các số còn lại xuất hiện ko quá 1 lần, số 0 không xuất hiện và không 2 chữ số lớn hơn 2 nào đứng cạnh nhau. 

Gọi các csố $> 2$ là $a_{i}$.

Số cách sắp xếp các $a_{i}$: $A_{7}^{5}$

Đặt $x_{1}$ số vị trí trước $a_{1}$

$x_{2}$ số vị trí ở giữa $a_{1}$ và $a_{2}$

$x_{3}$ số vị trí ở giữa $a_{2}$ và $a_{3}$

$x_{4}$ số vị trí ở giữa $a_{3}$ và $a_{4}$

$x_{5}$ số vị trí ở giữa $a_{4}$ và $a_{5}$

$x_{6}$ số vị trí sau $a_{5}$

Ta có pt:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=10$

với $x_{1},x_{6}\geq 0 $ và $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\geq 1$

Đổi biến:

$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}=6$

với $y_{i}\geq 0 , i=\overline{1,6}$

Số nghiệm của pt cũng là số cách chọn vị trí để đặt các csố $1 và 2$: $C_{11}^{5}$

Số cách sắp xếp  các csố $1 và 2$ vào các vị trí trên: $\frac{10!}{5!.5!}$

Số các số thỏa ycđb:

$A_{7}^{5}.C_{11}^{5}.\frac{10!}{5!.5!}=293388480$

 

Ui choa, lớn quá! có nhầm không nhỉ?

[BlackZero]

hình như đề là    $[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

ta có  $[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2} \Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq 9\Leftrightarrow \left [ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq 9$

ta chứng minh được $(x+y+z).\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$ nên có đpcm

đề đúng bạn

[superpower]

 

Đề thi HSG 11 Quảng Trị 2014-2015 (Chuyên)

Câu 1:các số $a,b$ thực. Tìm cặp $(x,y)$ thõa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{a+b} & & \\ x^4-y^4=ax-by & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số mà số 1 và 2 xuất hiện mỗi số 5 lần, các số còn lại xuất hiện ko quá 1 lần, số 0 không xuất hiện và không 2 chữ số lớn hơn 2 nào đứng cạnh nhau.

Câu 3: Cho dãy số ${{x_n}}$,

 $x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+{x_n}^2}$, $n$ nguyên dương

a) Tìm CTTQ $x_n$

b) Tìm $lim\frac{x_n}{2^n}$

Câu 4: Cho đường tròn $(O)$ có các đường kính $AB$ $CD$. Tiếp tuyến đường trong tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$, đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$

a) CMR $AB$ là tiếp tuyến của $(AEF),(BCE)$

b) CMR $AF,BC,OE$ đồng quy

Câu 5:

a) Tìm all hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thõa mãn

$f(x^2)=f(x+y)f(x-y)+y^2$

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMR

$[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

 

Câu bất đẳng thức chỉ là 1 bất đẳng thức nhẹ hơn bất đẳng thức IRAN 96. Có thể chứng minh bằng pqr

[superpower]

 

Đề thi HSG 11 Quảng Trị 2014-2015 (Chuyên)

Câu 1:các số $a,b$ thực. Tìm cặp $(x,y)$ thõa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{a+b} & & \\ x^4-y^4=ax-by & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số mà số 1 và 2 xuất hiện mỗi số 5 lần, các số còn lại xuất hiện ko quá 1 lần, số 0 không xuất hiện và không 2 chữ số lớn hơn 2 nào đứng cạnh nhau.

Câu 3: Cho dãy số ${{x_n}}$,

 $x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+{x_n}^2}$, $n$ nguyên dương

a) Tìm CTTQ $x_n$

b) Tìm $lim\frac{x_n}{2^n}$

Câu 4: Cho đường tròn $(O)$ có các đường kính $AB$ $CD$. Tiếp tuyến đường trong tại $B$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$, đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$

a) CMR $AB$ là tiếp tuyến của $(AEF),(BCE)$

b) CMR $AF,BC,OE$ đồng quy

Câu 5:

a) Tìm all hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thõa mãn

$f(x^2)=f(x+y)f(x-y)+y^2$

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMR

$[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

 

Câu hàm: 

Thay x=0,y=0, ta được $f(0)=f(0)^2$ => $a=0$ hoặc $a=1$ với $a=f(0)$

Thay y=0, ta được $f(x^2)=f(x)^2$

Do đó thay x=-x, ta được $f(x)=f(-x)$ hoặc $f(x)=-f(-x)$

Khi $f(x)=f(-x)$, thay vào, ta được $f(y)^2=a-y^2$, vô lý với a là 1 hằng số

Do đó $f(x)=-f(-x)$, thay vào, suy ra $f(x)=x$

Vậy hàm số duy nhất là $f(x)=x$

[quochung262]

Câu 3:

a) Đặt $x_1=cot\alpha (\alpha \in \left ( o;\pi \right ))$

$x_2=x_1+\sqrt{x_1^2+1}=cot\alpha +\frac{1}{sin\alpha }=\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=cot\frac{\alpha }{2}$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n=cot\frac{\alpha }{2^n}$

b) Ta có: $lim\frac{x_n}{2^n}=lim\frac{cot\frac{\alpha }{2^n}}{2^n}= {}lim\frac{1}{\alpha }\frac{1}{\frac{sin\frac{\alpha }{2^n}}{\frac{\alpha }{2^n}}}cos\frac{\alpha }{2^n}=\frac{1}{\alpha }$

Vậy $lim\frac{x_n}{2^n}=\frac{1}{\alpha }$ với $x_1=cot\alpha$

[superpower]

 

b) Cho $a,b,c$ thực đôi 1 khác nhau. CMR

$[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]\geq \frac{9}{2}$

 

Mình thấy đề sai khi $a=1  ; b=-1 ; c=0 $

Hay đề là các số thực dương ?