Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR
$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR
$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$
Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống
Like Like Like
Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia
Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý
Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia
Vũ Hoàng 99 -FCA-
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR
$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$
BĐT tương đương với
$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\leqslant 1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\leqslant \frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{(a+c)(b+c)} \right ]\geqslant 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng khi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác do
$\left\{\begin{matrix} (a+b)(a+c)>a^2+b^2+c^2\\(a+b)(b+c)>a^2+b^2+c^2 \\(a+c)(b+c)>a^2+b^2+c^2 \end{matrix}\right.$
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR
$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\leqslant \frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}b+c-a=x & \\ c+a-b=y & \\ a+b-c=z & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ x+y+z=a+b+c & \\ a=\frac{y+z}{2} & \\ b=\frac{z+x}{2} & \\ c=\frac{x+y}{2} & \\ 2(a^2+b^2+c^2)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx & \end{matrix}\right.$
Do vậy: $\frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{2x}{2x+y+z}+\frac{2y}{2y+z+x}+\frac{2z}{2z+x+y}\geqslant \frac{2(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}(\text{Q.E.D})$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh