Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
kudoshinichihv99

kudoshinichihv99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 850 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR

$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$


Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống :icon12:  :like  :wub:   ~O)

  Like :like  Like  :like Like  :like 

  Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia

  Quán Thơ VMF

  Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý

  Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia

                                                         Vũ Hoàng 99 -FCA-


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR

$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$

BĐT tương đương với 

     $\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\leqslant 1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\leqslant \frac{\sum (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{(a+c)(b+c)} \right ]\geqslant 0$

Bất đẳng thức trên luôn đúng khi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác do 

          $\left\{\begin{matrix} (a+b)(a+c)>a^2+b^2+c^2\\(a+b)(b+c)>a^2+b^2+c^2 \\(a+c)(b+c)>a^2+b^2+c^2 \end{matrix}\right.$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác .CMR

$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{5}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\leqslant \frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}b+c-a=x & \\ c+a-b=y & \\ a+b-c=z & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ x+y+z=a+b+c & \\ a=\frac{y+z}{2} & \\ b=\frac{z+x}{2} & \\ c=\frac{x+y}{2} & \\ 2(a^2+b^2+c^2)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx & \end{matrix}\right.$

Do vậy: $\frac{b+c-a}{b+c}+\frac{c+a-b}{c+a}+\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{2x}{2x+y+z}+\frac{2y}{2y+z+x}+\frac{2z}{2z+x+y}\geqslant \frac{2(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}(\text{Q.E.D})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh