Trừ 1 vào từng vế của bất đẳng thức cần cm,ta có
$(\frac{x}{2x+y+z}-1)+(\frac{y}{2y+x+z}-1)+(\frac{z}{2z+x+y}-1)\leq \frac{-9}{4}\Leftrightarrow -(x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y})\leq \frac{-9}{4}$.Như vậy ta cần chứng minh
$\Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+y+x})\geq \frac{9}{4}$
Thật vậy,ta có
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}\geq \frac{9}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}= \frac{9}{4(x+y+z)}\Rightarrow (x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x})\geq \frac{9}{4}$
Vậy bất đẳng thức trên đã được chứng minh