Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-04-2015 - 23:28

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 14-04-2015 - 14:16

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.

Với mọi $n\in \mathbb{N}^*$, ta xét các số có dạng $N_{k}=\overline{\underbrace{77777...7}_{k\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-k\ cs\ 0}}$ ,$1\leqslant k\leqslant n$ (tất cả có $n$ số như vậy, mỗi số có $n$ chữ số)

Gọi $r_{k}$ là số dư khi chia $N_{k}$ cho $n$ ($r_{k}\in \left \{ 0;1;2;...;n-1 \right \}$).Có 2 trường hợp :

$a)$ Nếu các số $r_{k}$ khác nhau từng đôi một thì theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại số $r_{i}=0$ $\Rightarrow N_{i}\vdots n$ hay

$N_{i}=\overline{\underbrace{77777...7}_{i\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-i\ cs\ 0}}$ là bội của $n$.

$b)$ Nếu có ít nhất 2 số bằng nhau ($r_{i}=r_{j}$ với $i>j$) $\Rightarrow N_{i}$ và $N_{j}$ có cùng số dư khi chia cho $n$

$\Rightarrow P=N_{i}-N_{j}$ chia hết cho $n$ hay

$P=\overline{\underbrace{77777...7}_{i-j\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-i\ cs\ 0}}$ là bội của $n$.

 

Như vậy với mọi số nguyên dương $n$, ta luôn tìm được ít nhất một bội chỉ bao gồm các chữ số $0$ và $7$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh