Chủ đề này có 6 trả lời

[ntqlamthao]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-04-2015 - 20:44

[hoctrocuaHolmes]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có

$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$

$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$

Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$

Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$

[khanghaxuan]

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

 

$\Leftrightarrow A+B+C\geq 0$   TRONG ĐÓ :   

 

$A=ab(a-b)(\frac{1}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}-\frac{1}{(a+c)(a^{2}+c^{2})})$

 

$B=cb(b-c)(\frac{1}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(a+b)(a^{2}+b^{2})})$

 

$C=ac(a-c)(\frac{1}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}-\frac{1}{(a+b)(a^{2}+b^{2})})$

 

Dễ thấy ĐÚNG !!!!

 

P/s : Bài của bạn http://diendantoanho.../136813-votruc/sai nhé !!!!

[Tuan Hoang Nhat]

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có

$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$

$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$

Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$

Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$

Bạn giải sai rồi

[tien123456789]

biến đổi tương đương

[Nguyen Minh Hai]

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz,ta có

$VP=\frac{a^{2}}{ab+ac}+\frac{b^{2}}{ab+bc}+\frac{c^{2}}{cb+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)} (*)$

$VT=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})} (**)$

Mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$ $(***)$

Từ $(*)(**)(***)$$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}-[\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}]\leq 0\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\leq\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\Rightarrow đpcm$

Ngược dấu rồi...bài này biến đổi tương đương cho nhẹ  

[KietLW9]

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$