Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HOMC 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

A. Trắc nghiệm

Câu 1: Tìm số hạng thứ 7 trong dãy $-1,4,-2,3,-3,2,...$

Câu 2: Tìm chữ số tận cùng của $2017^{2017}-2013^{2015}$

Câu 3: Tam giác đều và lục giác đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam giác là $4\sqrt3$, hãy tìm diện tích lục giác đều.

Câu 4: Tìm tổng tất cả các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.

Câu 5: Biết $a,b,c,m$ thoả mãn $a+b+c\equiv (a-b)(b-c)(c-a)\equiv m\pmod{ 27}$ với $0\le m\le 26. Tìm $m$

B. Tự luận

Câu 1. Tìm $x$ biết $x^4=2x^2+[x]$

Câu 2: Cho ba số thực $a,b,c\in [-1;1]$ thoả mãn $1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Chứng minh rằng: $1+2a^2b^2c^2\geq a^4+b^4+c^4$

Câu 3: Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a).$

Câu 4: Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn$a^2+b^2+c^2\le 8$. Tìm GTLN của $4(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)$

Câu 5: Tìm $x$ biết $(2015x-2014)^3=8(x-1)^3+(2013x-2012)^3$

Câu 6: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $(x^2+y^2-2)(x+y)^2+(xy+1)^2=0$. Chứng minh $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.

Câu 7: Cho tam giác ABC có các chiều cao lần lượt là $h_A,h_B,h_C$ và đường tròn nội tiếp bằng 2. Biết rằng $h_A=7,h_B=3$,hãy tính $h_C$

Câu 8: Cho $2x^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$. Tìm $x,y$ nguyên

Câu 9: Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ đường cao từ B,O,C xuống AD cắt AD lần lượt tại I,K,H. Chứng minh $AD.BI.CH\le AC.BD.OK$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 18-04-2015 - 22:58


#2
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Câu 5: Tìm $x$ biết $(2015x-2014)^3=8(x-1)^3+(2013x-2012)^3$

 

 

Ta dễ dàng chứng minh được nếu $a+b+c=0$ thì $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Phương trình $\Leftrightarrow \left ( 2x-2 \right )^{3}+\left ( 2013x-2012 \right )^{3}+\left ( 2014-2015x \right )^{3}=0$

Đặt $2x-2=a;2013x-2012=b;2014-2015x=c\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow 3(2x-2)(2013x-2012)(2014-2015x)=0$



#3
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Câu 3: 

Ta có: 

$a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b$

$b^3+b^3+c^3\geq 3b^2c$
$c^3+c^3+a^3\geq 3c^2a$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$                  $(1)$
Lại có: $(ab)^3+(bc)^3+(bc)^3\geq 3ab^3c^2=3b^2c $
           $(bc)^3+(ca)^3+(ca)^3\geq 3c^2a $
           $(ca)^3+(ab)^3+(ab)^3\geq 3a^2b$
$\Rightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$
$\Rightarrow 2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$                  $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ có điều cần chứng minh


#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Tự luận 1. $[x]=x^4-2x^2\leqslant x\Leftrightarrow x(x+1)(x^2-x-1)\leqslant 0$ nên $[x]\in \{-1, 0,1\}$

Ngoài ra $x^4-2x^2\geqslant x-1$ nên $x<1$. Do vậy $[x]\in \{-1,0\}$

Thay từng trường hợp.

Tự luận 2. $1+2abc\geqslant a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2-2abc+(bc)^2\leqslant (bc)^2-b^2-c^2+1\Leftrightarrow (a-bc)^2\leqslant (b^2-1)(c^2-1)$

Tương tự ta có $1+2(abc)^2\geqslant a^4+b^4+c^4\Leftrightarrow (a-bc)^2(a+bc)^2\leqslant (b^2-1)(c^2-1)(b^2+1)(c^2+1)$

Do vậy mà ta cần chứng minh $(a+bc)^2\leqslant (b^2+1)(c^2+1)\Leftrightarrow a^2+2abc\leqslant b^2+c^2+1$

Có $b^2+c^2\geqslant 2|bc|\geqslant 2|abc|\geqslant 2abc$ và $1\geqslant a^2$ nên ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 17-04-2015 - 13:16

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Tự luận 4. $4x^3-x^4-4x^2=-x^2(x-2)^2\leqslant 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $BT\leqslant 4(a^2+b^2+c^2)\leqslant 32$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1. Thấy rằng $u_{n+1}-u_{n}=u_{n+3}-u_{n+2}$ nên $x-2=-3-3=-6 \Rightarrow x=-4$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 2. Trắc nghiệm nên làm thủ công $2017^{2017}-2013^{2015}\equiv -3^{2017}-3^{2015}\pmod{10}$

Có $3^{2016}=9^{1008}\equiv 1\pmod{10}$ và $3^{2014}=9^{1007}\equiv -1\pmod{10}$ nên $VT\equiv -3+3=0\pmod{10}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Đề câu 6 phần tự luận $x,y$ phải là các số nguyên chứ??? :( 



#9
NNT0607

NNT0607

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Mình có tham gia thi giải này của Hội toán học Hà Nội, đề thi này( có lẽ là nguồn Hexagon) có nhiều chỗ sai sót, không giống với đề thi thực tế!

Ví dụ như câu 6 trên đề là chứng minh $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ...



#10
NNT0607

NNT0607

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
Câu 1 trắc nghiệm: Dễ dàng nhận thấy số thứ 7 trong dãy là -4

#11
NNT0607

NNT0607

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Câu 2 trắc nghiệm:

Ta có :

$2017^{2017}\equiv 7(mod 10)$

$2013^{2015}\equiv 7(mod 10)$

Vậy chữ số tận cùng của $2017^{2017}-2013^{2015}$ là 0



#12
onepiecekizaru

onepiecekizaru

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

câu 9-tự luận

kẻ AN vuông góc với DB (N thuộc DB)

tự chứng minh $\Delta DAN$ đồng dạng $\Delta DBI$

suy ra $\frac{AN}{IB}=\frac{AD}{DB}\Rightarrow AN.DB=IB.DA\Rightarrow IB.DA\leq AO.DB\Rightarrow IB.DA.CH\leq AO.DB.CH= DB.KO.AC$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onepiecekizaru: 17-04-2015 - 23:31


#13
Thu Huyen 21

Thu Huyen 21

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

A. Trắc nghiệm

Câu 1: Tìm số hạng thứ 7 trong dãy $-1,4,-2,3,-3,2,...$

Câu 2: Tìm chữ số tận cùng của $2017^{2017}-2013^{2015}$

Câu 3: Tam giác đều và lục giác đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam giác là $4\sqrt3$, hãy tìm diện tích lục giác đều.

Câu 4: Tìm tổng tất cả các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.

Câu 5: Biết $a,b,c,m$ thoả mãn $a+b+c\equiv (a-b)(b-c)(c-a)\equiv m\pmod{ 27}$ với $0\le m\le 26. Tìm $m$

B. Tự luận

Câu 1. Tìm $x$ biết $x^4=2x^2+[x]$

Câu 2: Cho ba số thực $a,b,c\in [-1;1]$ thoả mãn $1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Chứng minh rằng: $1+2a^2b^2c^2\geq a^4+b^4+c^4$

Câu 3: Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a).$

Câu 4: Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn$a^2+b^2+c^2\le 8$. Tìm GTLN của $4(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)$

Câu 5: Tìm $x$ biết $(2015x-2014)^3=8(x-1)^3+(2013x-2012)^3$

Câu 6: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $(x^2+y^2-2)(x+y)^2+(xy+1)^2=0$. Chứng minh $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.

Câu 7: Cho tam giác ABC có các chiều cao lần lượt là $h_A,h_B,h_C$ và đường tròn nội tiếp bằng 2. Biết rằng $h_A=7,h_B=3$,hãy tính $h_C$

Câu 8: Cho $2x^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$. Tìm $x,y$ nguyên

Câu 9: Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ đường cao từ B,O,C xuống AD cắt AD lần lượt tại I,K,H. Chứng minh $AD.BI.CH\le AC.BD.OK$

Câu sô 7 bị nhầm đề rồi. Đề dúng là: Cho tam giác ABC có các chiều cao lần lượt là $h_A,h_B,h_C$ . Biết rằng $h_A=7,h_B=3$, $h_C$ là 1 số nguyên . Hãy tính $h_C$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 13-05-2015 - 10:45


#14
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

A. Trắc nghiệm

Câu 1: Tìm số hạng thứ 7 trong dãy $-1,4,-2,3,-3,2,...$

Câu 2: Tìm chữ số tận cùng của $2017^{2017}-2013^{2015}$

Câu 3: Tam giác đều và lục giác đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam giác là $4\sqrt3$, hãy tìm diện tích lục giác đều.

Câu 4: Tìm tổng tất cả các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.

Câu 5: Biết $a,b,c,m$ thoả mãn $a+b+c\equiv (a-b)(b-c)(c-a)\equiv m\pmod{ 27}$ với $0\le m\le 26. Tìm $m$

B. Tự luận

Câu 1. Tìm $x$ biết $x^4=2x^2+[x]$

Câu 2: Cho ba số thực $a,b,c\in [-1;1]$ thoả mãn $1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Chứng minh rằng: $1+2a^2b^2c^2\geq a^4+b^4+c^4$

Câu 3: Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a).$

Câu 4: Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn$a^2+b^2+c^2\le 8$. Tìm GTLN của $4(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)$

Câu 5: Tìm $x$ biết $(2015x-2014)^3=8(x-1)^3+(2013x-2012)^3$

Câu 6: Cho $x,y>0$ thoả mãn: $(x^2+y^2-2)(x+y)^2+(xy+1)^2=0$. Chứng minh $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.

Câu 7: Cho tam giác ABC có các chiều cao lần lượt là $h_A,h_B,h_C$ và đường tròn nội tiếp bằng 2. Biết rằng $h_A=7,h_B=3$,hãy tính $h_C$

Câu 8: Cho $2x^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$. Tìm $x,y$ nguyên

Câu 9: Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ đường cao từ B,O,C xuống AD cắt AD lần lượt tại I,K,H. Chứng minh $AD.BI.CH\le AC.BD.OK$

Câu1 : -1,4,-2,3,-3,2,... để ý thì thấy số hạng thứ lẻ là -1,-2,-3,.. số hạng thứ chẵn là 4,3,2,.. nên số hạng thứ 7 là -4.



#15
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

đề câu 7 không sai đâu ta có 1 đẳng thức cơ bản là $\frac{1}{r}= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ thế vào cm đc hc bằng 42......... chứng minh đẳng thức đơn giản bằng cách nhân 2 vế với 2S trong đó là S là diện tích


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh