Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-04-2015 - 20:20

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.



#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-04-2015 - 21:40

Bài 2

untitled.PNG

Bỏ qua trường hợp tầm thường $AB//CD$

Xét trường hợp $AB$ không song song $CD$, gọi $S$ là giao điểm của chúng

Dễ thấy $\overline{SA}.\overline{SB}=\overline{SC}.\overline{SD}(1)$

Xét phương tích của $S$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ ta có 

$P_{S/(ABN)}=P_{S/(O))}<=>\overline{SN}.\overline{SP}=\overline{SA}.\overline{SB}$

Kết hợp với $(1)$ suy ra $\overline{SN}.\overline{SP}=\overline{SC}.\overline{SD}$

Áp dụng hệ thức $Ma-clau-rin$ cho kết quả trên suy ra $(SPDC)=-1$

Chứng minh tương tự ta cũng có $(SQBA)=-1$

Do $AB,CD$ cắt nhau ở $S$ và $(SPDC)=(SQBA)=-1$ nên $AC,BD,PQ$ đồng quy

 


NgọaLong

#3 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-04-2015 - 22:50

Bài 1 là một dạng mở rộng của bài Moldova TST 2010 nếu coi vị trí của $M$ là trung điểm BC:

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm $BC$.Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HM$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$.CMR $MP=MQ$

Các bác chém bài này thử rồi tìm hiểu bài kia


NgọaLong

#4 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 25-04-2015 - 23:35

Bài Moldova TST 2010 ở đây.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#5 Phung Quang Minh

Phung Quang Minh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 359 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 26-04-2015 - 00:42

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.

1)-Từ P kẻ PN//AC (N thuộc HC).

-Vì PN//AC => PH/HQ= HN/HC (1).

-Vì PN//AC và AC vuông góc với HB => NP vuông góc với HB. Lại có: BP vuông góc với HN.

=> P là trực tâm tam giác NBH => HP vuông góc với NB. Mà HP vuông góc với HM.

=> HM//NB => HN/HC= MB/MC (2).

-Từ (1);(2) => đpcm.



#6 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 02-05-2015 - 18:36

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

xem ở đây


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh