Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Gọi $X_n$ là tập hợp các căn thức bậc $n$ của đơn vị. Chứng minh $X=\bigcup_{n:2}^{\infty} x_n$ là nhóm với phép nhân số phức.

[thuylinh_909]

$X=\bigcup _{n=2}^{\infty} x_{n}$ tức $X$ là tập gồm các số phức $z$ mà tồn tại $n$ sao cho $z^n=1$.

 

Để chứng minh $(X,.)$ là nhóm cần chứng minh :

   + phép nhân số phức thông thường là phép toán hai ngôi trên $X$ (1)

   + phép nhân có t/c kết hợp => hiển nhiên

   + Tồn tại phần tử đơn vị                                                                     (2)

   + Với mỗi phần tử trong $X$ đều tồn tại phần tử nghịch đảo            (3) 

 

(1) nếu $z_1 , z_2 \in X $ thì $ z_1.z_2 \in X $

 

(2) Có $1  \in X $ vì $1^1=1$

   và với $z$ bất kì thuộc $X$ thì $1.z=z.1=z$

=> Tồn tại phần tử đơn vị 

 

(3) nếu $z \in X $ tức $\exists n: z^n=1 \Rightarrow z \neq 0$

                              $\Rightarrow (\frac{1}{z})^n=\frac{1}{z^n}=1\Rightarrow \frac{1}{z} \in X$

                         và $\frac{1}{z}.z=z.\frac{1}{z}=1$

=> Mọi phần tử trong $X$ đều có nghịch đảo trong $X$