Sau khi tham khảo 1 vài cuốn về Étale Cohomology ví dụ như Étale Cohomology and the Weil conjecture của Freitag, Étale Cohomology của Milne, và Grothendieck SGA EGA thấy hay nhưng khó quá, có nhiều điều suy nghĩ, cho nên mình mở thêm topic này nhằm thảo luận hy vọng đông đảo nhiều người quan tâm tới các lãnh vực AG, CA, RT, CV, AT,... cùng tham gia. Nếu mọi người không ai phản đối thì mình đề nghị có thể thảo luận theo cuốn Étale Cohomology của Milne (có free ở trên mạng) tiện theo dõi, mỗi người tham gia viết 1 phần, như thế có thể chúng ta sẽ có 1 topic đẹp đẽ. Vì trình độ mình còn có hạn cho nên mình xin phép viết phần Introductory. Cuốn sách của Milne được trình bày chia làm 2 phần, phần đầu về Étale cohomology và phần 2 về Proof của Weil conjecture. Nếu chúng ta thảo luận hết phần 1 của cuốn sách cũng đã gọi là thành công cho topic này rồi. Vì vậy mình vô cùng kính mong sự tham gia nhiệt tình của mọi người. Trong quá trình thảo luận post bài, mọi kiến thức cơ bản đều được nhắc lại để tiện cho mọi người cùng tham gia.
Bài Introduction của mình, mình sẽ post ngay lập tức.
Étale Cohomology
Bắt đầu bởi quantum-cohomology, 17-04-2006 - 10:10
#1
Đã gửi 17-04-2006 - 10:10
#2
Đã gửi 17-04-2006 - 11:29
Mở đầu
Sheaves: Trong mục này chúng ta sẽ ôn lại lý thuyết bó. Cho X là 1 không gian topo, 1 bó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda là 1 nhóm topo abel vậy thì ta có thể định nghĩa 1 bó trên 1 không gian topo X bất kỳ thông qua việc đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda
Sheaves: Trong mục này chúng ta sẽ ôn lại lý thuyết bó. Cho X là 1 không gian topo, 1 bó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda là 1 nhóm topo abel vậy thì ta có thể định nghĩa 1 bó trên 1 không gian topo X bất kỳ thông qua việc đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 17-04-2006 - 12:31
#3
Đã gửi 18-04-2006 - 00:34
Tôi xin phép bổ sung trình bầy lại Sheaf và Presheaf
#4
Đã gửi 18-04-2006 - 10:20
OOps, sory, ở trên lúc viết mình viết sai, stalk chứ không phải stack. Có ai có thể dịch sang tiếng việt nó là gì không nhỉ?
#5
Đã gửi 18-04-2006 - 12:43
Hình như stalk cũng được dịch là thớ, nếu không thì cứ để nguyên vậy .
Trong phần về tiền bó và bó (presheaf and sheaf) có lẽ nói một chút về bó hóa (sheafitication) để giúp định nghĩa Coker của một cấu xạ giữa các bó và các thứ khác dễ dàng hơn.
Định nghĩa đối đồng điều hệ số bó sao không phải qua hàm tử dẫn xuất phải (right derived functor) của hàm tử như trong sách? Định nghĩa trên kia là định nghĩa Cech cohomology, hai định nghĩa liệu có trùng nhau không nhỉ?
Có mấy trang scan nhỏ quá, khó đọc quá
Trong phần về tiền bó và bó (presheaf and sheaf) có lẽ nói một chút về bó hóa (sheafitication) để giúp định nghĩa Coker của một cấu xạ giữa các bó và các thứ khác dễ dàng hơn.
Định nghĩa đối đồng điều hệ số bó sao không phải qua hàm tử dẫn xuất phải (right derived functor) của hàm tử như trong sách? Định nghĩa trên kia là định nghĩa Cech cohomology, hai định nghĩa liệu có trùng nhau không nhỉ?
Có mấy trang scan nhỏ quá, khó đọc quá
#6
Đã gửi 19-04-2006 - 10:14
Quantum nè, cậu gửi cho tớ cái link của cuốn sách nay được ko? tớ ko tìm được! vậy nhé, có gì đọc rùi tở hỏi các cậu sau !
Reserve your right to think, for even to think wrongly is better than not to think at all -Hypatia- A woman Mathematician
#7
Đã gửi 20-04-2006 - 21:54
Cám ơn anh Noproof, mấy hôm em phải chấm nhiều bài quá, nên không kịp post, em sẽ chỉnh sửa những chỗ thiếu sót. Theo em hiểu thì Cech Cohomology cũng giống Sheaves Cohomology, nhưng không tổng quát và trừu tượng bằng (hy vọng lần post tới em có thể giải thích được vì sao).
To kakalot: Nếu bạn không tìm được thì mình sẽ upload cuốn đó dưới dạng PDF lên diễn đàn.
----------------
Đang chuẩn bị bài post tiếp theo, nhưng chả hiểu sao khi chuyển lên photobucket dưới dạng file ảnh thì cái thì to cái thì nhỏ.
To kakalot: Nếu bạn không tìm được thì mình sẽ upload cuốn đó dưới dạng PDF lên diễn đàn.
----------------
Đang chuẩn bị bài post tiếp theo, nhưng chả hiểu sao khi chuyển lên photobucket dưới dạng file ảnh thì cái thì to cái thì nhỏ.
#8
Đã gửi 21-04-2006 - 00:01
#9
Đã gửi 21-04-2006 - 07:35
Híc tính scan mấy cái vừa chuẩn bị lên diễn đàn thì không đọc được. Thôi đành type suông vậy. Xin phép trình bầy vắn tắt thôi.
1 bó tương ứng với 1 tiền bó là 1 bó của 1 tập mở cùng với ánh xạ với sao cho với tồn tại 1 tập con mở và 1 section với
Với định nghĩa này thì chúng ta có 1 phép ánh xạ bao tự nhiên (natural inclusion) ,
ánh xạ này là 1 Isomorphism nếu tiền bó đã là 1 bó sẵn. Cũng có thể định nghĩa thông qua tensor như sau: Tích tensor được định nghĩa như là bó hóa của .
Định nghĩa: Cho là 1 cấu xạ giữa các bó. Vậy thì Cokernel Sheaves được hiểu như là Sheafification của tiền Presheaf Coker.
Lưu ý: Thực ra các Definitions ở trên hoàn toàn có thể contruction được tuy nhiên mình không làm explicite ra ở đây, chỉ là tóm tắt những điều cơ bản nhất về bó.
------------------------
cấu xạ bó là đơn ánh nếu và chỉ nếu hạt nhân là trivial, tương tự ta nói 1 cấu xạ bó là toàn ánh nếu bó đối hạt nhân của nó là tầm thường. Chúng ta cần nhấn mạnh điểm khác biệt giữa đơn ánh và toàn ánh trong lý thuyết bó. Để ý rằng 1 cấu xạ bó là đơn ánh khi và chỉ khi rút gọn của nó lên 1 tập mở cũng là 1 đơn ánh. Tuy nhiên 1 cấu xạ vẫn có thể là toàn ánh mặc dù rút gọn của nó không phải là 1 toàn ánh. Dù vậy chúng ta vẫn có thể sử dụng ngôn ngữ của thớ (stalks): 1 cấu xạ bó được gọi là đơn ánh cũng như toàn ánh nếu và chỉ nếu là đơn ánh cũng như toàn ánh.
Bây giờ thì chúng ta đã có thể hiểu dẫy khớp của bó tốt hơn. 1 dãy các cấu xạ bó được gọi là dãy phức nếu
Nó được gọi là khớp nếu
Bài tập: Hãy cmr 1 dãy khớp ngắn khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh trên thớ là khớp.
Chúng ta có 2 kiểu định nghĩa đối đồng điều với hệ số bó (just ad hoc and abstract): Kiểu thứ nhất: Sử dụng derived categories. Kiểu thứ 2: Sử dụng phép giải acyclic ( acyclic resolution )
Tôi sẽ trình bầy cả 2 pp này, tuy nhiên cũng chỉ dưới dạng ngắn gọn.
1 bó tương ứng với 1 tiền bó là 1 bó của 1 tập mở cùng với ánh xạ với sao cho với tồn tại 1 tập con mở và 1 section với
Với định nghĩa này thì chúng ta có 1 phép ánh xạ bao tự nhiên (natural inclusion) ,
ánh xạ này là 1 Isomorphism nếu tiền bó đã là 1 bó sẵn. Cũng có thể định nghĩa thông qua tensor như sau: Tích tensor được định nghĩa như là bó hóa của .
Định nghĩa: Cho là 1 cấu xạ giữa các bó. Vậy thì Cokernel Sheaves được hiểu như là Sheafification của tiền Presheaf Coker.
Lưu ý: Thực ra các Definitions ở trên hoàn toàn có thể contruction được tuy nhiên mình không làm explicite ra ở đây, chỉ là tóm tắt những điều cơ bản nhất về bó.
------------------------
cấu xạ bó là đơn ánh nếu và chỉ nếu hạt nhân là trivial, tương tự ta nói 1 cấu xạ bó là toàn ánh nếu bó đối hạt nhân của nó là tầm thường. Chúng ta cần nhấn mạnh điểm khác biệt giữa đơn ánh và toàn ánh trong lý thuyết bó. Để ý rằng 1 cấu xạ bó là đơn ánh khi và chỉ khi rút gọn của nó lên 1 tập mở cũng là 1 đơn ánh. Tuy nhiên 1 cấu xạ vẫn có thể là toàn ánh mặc dù rút gọn của nó không phải là 1 toàn ánh. Dù vậy chúng ta vẫn có thể sử dụng ngôn ngữ của thớ (stalks): 1 cấu xạ bó được gọi là đơn ánh cũng như toàn ánh nếu và chỉ nếu là đơn ánh cũng như toàn ánh.
Bây giờ thì chúng ta đã có thể hiểu dẫy khớp của bó tốt hơn. 1 dãy các cấu xạ bó được gọi là dãy phức nếu
Nó được gọi là khớp nếu
Bài tập: Hãy cmr 1 dãy khớp ngắn khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh trên thớ là khớp.
Chúng ta có 2 kiểu định nghĩa đối đồng điều với hệ số bó (just ad hoc and abstract): Kiểu thứ nhất: Sử dụng derived categories. Kiểu thứ 2: Sử dụng phép giải acyclic ( acyclic resolution )
Tôi sẽ trình bầy cả 2 pp này, tuy nhiên cũng chỉ dưới dạng ngắn gọn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh