Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 5$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
songokucadic1432

songokucadic1432

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết

a,b,c là các số tùy ý thuộc đoạn $\left [ 0,2 \right ]$ ; a+b+c=3

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 5$

thank :namtay :namtay


''MUỐN BIẾT PHẢI HỎI MUỐN GIỎI PHẢI HỌC''$\rightarrow$ TRUE STORY

:icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:


#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

a,b,c là các số tùy ý thuộc đoạn $\left [ 0,2 \right ]$ ; a+b+c=3

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 5$

thank :namtay :namtay

Ta có $a,b,c\in [0;2]\Rightarrow abc+(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$

          $\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)\geq 0$

          $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 2$

Lại có $a+b+c=3\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9-2(ab+bc+ca)\leq 9-2.2=5$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 07-05-2015 - 22:29


#3
turbopascal

turbopascal

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
Do vai trò của a,b,c trong điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh là như nhau nên ta có thể giả sử $a = max\left \{ a;b;c \right \}$.
Từ giả thiết a+b+c=3 ta có $3 \leq 3a \Leftrightarrow a \geq 1$. Kết hợp điều kiện còn lại ta có $1 \leq a \leq 2$.
Do b,c không âm nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq a^{2} + (b + c)^{2} = a^{2} + (3-a)^{2} = 2(a^{2}-3a)+9$.
Lại do $1 \leq a \leq 2 nên (a-1)(a-2) \leq 0 \Leftrightarrow a^{2}-3a \leq -2$.
Suy ra $a^{2} +b^{2} +c^{2} \leq 2.(-2)+9 = 5$. Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi a=2;b=1;c=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 09-05-2015 - 08:07
Chú ý kẹp $$ vào đầu và cuối CT TOÁN HỌC

        "Triết lý của tôi rất giản đơn. Cái gì trống thì làm đầy. Cái gì đầy thì đổ ra. Chỗ nào ngứa thì gãi."           -Alice Roosevelt Longworth.  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin: 

 


#4
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

a,b,c là các số tùy ý thuộc đoạn $\left [ 0,2 \right ]$ ; a+b+c=3

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 5$

thank :namtay :namtay

Một cách nữa nhé

Giải

Đặt $x=a-1;y=b-1;z=c-1$, từ đó suy ra $x+y+z=0$

Ta thấy trong $3$ số $x,y,z$ bất kì, tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu

Không mất tính tổng quát, giả sử $2$ số đó là $x$ và $y$ $\Rightarrow xy\geq 0$

Vì $a,b,c \in\begin{bmatrix} 0;2 \end{bmatrix}$ nên $\Rightarrow |x|;|y|;|z|\leq 1$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2$

Vì $|x|;|y|;|z|\leq 1$ $\Rightarrow x^2\leq |x|;y^2\leq |y|;z^2\leq |z|$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq |x|+|y|+|z|=|x+y|+|z|=|-z|+|z|=2|z|\leq 2$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh