Bài toán.(Putnam 2010). Cho G là một cấu trúc nhóm với phép toán *. Gỉa sử
i) G là tập con của tập hợp $R^{3}$
II) Với a,b $\in G$ thì hoặc $a\times b=a*b$ hoặc$a\times b=0$ , hoặc cả hai ( trong đó $\times$ là tích có hướng của hai vector trong $R^{3}$ )
Chứng minh rằng $a\times b=0$ với mọi a,b $\in G$
Bài toán. Cho $S=\left \{ 3,5,7,... \right \}$. Với $x\in S$ , gọi $\delta (x)$ là số nguyên dương thỏa $2^{\delta (x)}< x< 2^{\delta (x)+1}$. Với a, b $\in G$, ta định nghĩa $a*b=2^{\delta (a)-1}(b-3)+a$.
Chứng minh rằng với $a,b,c\in G$ thì $(a*b)*c=a*(b*c)$