Đến nội dung

Hình ảnh

Một số bài toán cơ bản


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán.(Putnam 2010). Cho G là một cấu trúc nhóm với phép toán *. Gỉa sử

i) G là tập con của tập hợp $R^{3}$

II) Với a,b $\in G$ thì hoặc $a\times b=a*b$ hoặc$a\times b=0$ , hoặc cả hai ( trong đó $\times$ là tích có hướng của hai vector trong $R^{3}$ )

 Chứng minh rằng $a\times b=0$ với mọi a,b $\in G$

Bài toán. Cho $S=\left \{ 3,5,7,... \right \}$. Với $x\in S$ , gọi $\delta (x)$ là số nguyên  dương thỏa $2^{\delta (x)}< x< 2^{\delta (x)+1}$. Với a, b $\in G$, ta định nghĩa $a*b=2^{\delta (a)-1}(b-3)+a$.

 Chứng minh rằng với $a,b,c\in G$ thì $(a*b)*c=a*(b*c)$

 



#2
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán. Trên tập hợp S được trang bị một phép toán . ( kí hiệu theo lối nhân ) vừa giao hoán vừa kết hợp. Gỉa sử với mọi x, y thuộc S , tồn tại z thuộc S sao cho xz=y ( z phụ thuộc vào x,y )

 Chứng minh rằng Với mọi a,b,c thuộc S nếu ac=bc thì a=b 

Bài toán ( Putnam 1971). Cho S  là một tập hợp được trang bị phép toán $\circ$ thỏa mãn hai điều kiện sau

                       $i) x\circ x=x$ với mọi x thuộc S

                       $ii) (x\circ y)\circ z=(y\circ z)\circ x$ với mọi x,y,z thuộc S

Chứng minh : $\circ$ kết hợp và giao hoán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 14-05-2015 - 11:28


#3
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán (Putnam 1977) . Cho G là một nhóm , H là một nhóm con hữu hạn cấp h của G. Gỉa sử tồn tại phần tử $a\in G$ sao cho với mọi phần tử $x\in H$ ta luôn có $(xa)^{3}=1$

  Đặt  $P=\left \{ x_{1}ax_{2}a...x_{n}a,x_{i}\in H,i=\overline{1,n},n\in N^{*} \right \}$

  Chứng minh rằng $\left | P \right |\leq 3h^{2}$



#4
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán. Cho $f:A^{3}\rightarrow A$, trong đó A là một tập khác rỗng thỏa

1) Với mọi x,y thuộc A $f(x,y,y)=f(y,y,x)=x$

2) Với mọi $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3},z_{1},z_{2},z_{3}$ thuộc A

$f(f(x_{1},x_{2},x_{3}),f(y_{1},y_{2},y_{3}),f(z_{1},z_{2},z_{3}))=f(f(x_{1},y_{1},z_{1}),f(x_{2},y_{2},z_{2}),f(x_{3},y_{3},z_{3}))$

 Cố định a thuộc A , đặt $x*y=f(x,a,y)$. Chứng minh rằng $(A,*)$ là một nhóm Abel

 Nguồn : Từ cuộc thi Annual Vojtech Jarnik


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 19-05-2015 - 09:38


#5
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán ( Annual Vojtech Jarnik-2005) Cho R là một vành thỏa:

 Với mọi a,b thuộc R , tồn tại c thuộc R ( phụ thuộc vào hai giá trị a,b) sao cho $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

 Chứng minh rằng :

   Với mọi a,b,c thuộc R , luôn tồn tại d thuộc R sao cho $abc+abc=d^{2}$



#6
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán ( AVJ-2001). Cho a,b,c là các phần tử có cấp hữu hạn của một nhóm. Gỉa sử

          $a^{-1}ba=b^{2};b^{-2}cb^{2}=c^{2};c^{-3}ac^{3}=a^{2}$

Chứng minh rằng a=b=c=e, trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm đang xét



#7
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán (AVJ-2014) Cho p là một số nguyên tố và A là một nhóm con của nhóm nhân $F_{p}^{*}$ của trường hữu hạn $F_{p}$.

 Chứng minh rằng: Nếu cấp của nhóm A chia hết cho 6 thì tồn tại x,y,z thuộc A sao cho x+y=z


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 21-05-2015 - 10:23


#8
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán ( Sydnney-2010) Chứng minh rằng nếu R là một vành thỏa $r^{4}=r$ với mọi $r\in R$ thì R là một vành giao hoán.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh