$\dots \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$
#1
Posted 11-05-2015 - 19:47
#3
Posted 11-05-2015 - 22:37
Ngoài câu ni. Còn có câu:
Chứng minh tồn tại dãy khớp ( over Z): 0-> Z2 ->Z4 ->Z4-> Z2 -> 0
#4
Posted 11-05-2015 - 22:42
- Ngohanganh2581 likes this
#5
Posted 12-05-2015 - 03:15
Đề chỉ nói chứng minh tồn tại 1 dãy khớp ( over Z) như thế bạn nak
Ngoài câu ni. Còn có câu:
Chứng minh tồn tại dãy khớp ( over Z): 0-> Z2 ->Z4 ->Z4-> Z2 -> 0
Bạn gõ latex kĩ lại giùm mình chỗ này: dãy khớp của bạn là
$$\dots \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$$
hay là
$$ Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$$
Hai dãy này khác nhau.
Để tìm dãy $0 \rightarrow Z/2Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$, ta thử tìm 1 toàn ánh $\varphi_0: Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$, thử map $z+ 4Z \mapsto z+ 2Z$. Bạn cần chứng minh đây là 1 morphism giữa module over $Z$. Dễ thấy, hàm này toàn ánh. Gọi $K$ là kernel của $\varphi_0$. Bây giờ ta cần $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K \rightarrow 0$ là toàn ánh để ta có dãy khớp $Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$.
Ta thấy kernel của $\varphi_0$ là $K=\{0 +4Z, 2+ 4Z\} \subset Z/4Z$ (vì $Z/4Z =\{0+4Z, 1+ 4Z, 2+4Z, 3+4Z\}$). Nên bây giờ ta cần tìm toàn ánh $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K$. Nhưng ta để ý, ta cần kernel của toàn ánh $\varphi_1$ phải là $Z/2Z$ vì ta cần $0 \rightarrow Z/2Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow K \rightarrow 0$. Ta không thể chọn $\varphi_1(z+ 4Z)= z+ 4Z$ được (vì sao?). Nhưng ta có thể chọn $\varphi_1(z+4Z)= 2z+ 4Z$. Bạn cần kiểm tra đây là morphism giữa module over $Z$. Và $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K$ là toàn ánh. Kernel của hàm này là $\{0+4Z, 2+ 4Z\}$ nên đẳng cấu với $Z/2Z$ và là điều ta muốn.
Tóm lại, maps giữa những modules trên như sau
$$\begin{matrix}
0 \rightarrow & Z/2Z & \rightarrow & Z/4Z & \rightarrow & Z/4Z & \rightarrow & Z/2Z & \rightarrow 0 \\
& z + 2Z & \mapsto & z+ 4Z & & & & & \\
& & & z+ 4Z & \mapsto & 2z+ 4Z & & & \\
& & & & & z+4Z & \mapsto & z+2Z &
\end{matrix}$$
#6
Posted 12-05-2015 - 08:18
#7
Posted 12-05-2015 - 10:32
Chứng minh tồn tại dãy khớp ....->Z4 -> Z4 -> Z4 -> Z4 -> ...... Bạn nha...
Nhìn vào map $\varphi: Z/4Z \rightarrow Z/4Z$ được cho bởi $\varphi(z+4Z)= 2z + 4Z$, ta thấy $im(\varphi)=\{0 + 4Z, 2+ 4Z\}$ và $ker(\varphi)=\{0+ 4Z, 2+ 4Z\}$. Gọi $K= \{0+ 4Z, 2 + 4Z\}= im(\varphi)= ker(\varphi)$. Nên ta có dãy khớp
$$0 \rightarrow K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \rightarrow 0$$
với maps $\pi: Z/4Z \rightarrow \frac{Z/4Z}{K}$ là projection tự nhiên và $i: K \hookrightarrow Z/4Z$ là inclusion tự nhiên.
Mà $\frac{Z/4Z}{K} \cong \{0+4Z, 2 + 4Z\}= K$. Gọi đẳng cấu đó là $\alpha$. Đến đây, ta có
$$K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z\rightarrow \dots$$
Như vậy, để xây dựng dãy khớp về bên phải, ta dựng như sau
$$Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi}\dots$$
Đến đây, ta thấy dãy này khớp (kiểm tra).
Dễ thấy, mở rộng về bên trái hoàn toàn giống như bên phải
$$\dots K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi}\dots$$
Vì vậy ta có dãy khớp
$$\dots \rightarrow Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi}Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z\rightarrow \dots$$
EDIT: nửa đêm rồi viết tới viết lui thành ra viết dài, viết dở. Xét $\varphi: Z/4Z \rightarrow Z/4Z$ được cho bởi $\varphi(z+ 4Z)= 2z+ 4Z$. Và ta xét chuỗi
$$\dots \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} \dots$$
Ta thấy $\varphi \circ \varphi = 0$ và nếu $z+ 4Z \in ker(\varphi),$ thì $z \in \{0, 2\}$ nên $z+ 4Z \in im(\varphi)$. Vì vậy $im(\varphi)= ker(\varphi)$ (2 $\varphi$ này là 2 hàm kế bên nhau, chúng nó chỉ vô tình có cùng 1 tên), nên dãy trên là dãy khớp.
Edited by fghost, 12-05-2015 - 11:09.
#8
Posted 12-05-2015 - 12:56
Cho U là không gian 1 chiều có cơ sở là $\left \{ u \right \}$ , Cho V là không gian 3 chiều có cơ sở là $\left \{ v_{1} \right,v_{2}, v_{3} \}$ , Cho W là không gian 2 chiều có cơ sở là $\left \{w _{1} \right,w_{2} \}$ . cho f : $U\rightarrow V$ được xác định bởi f(au)= av1+av2 , g: $V\rightarrow W$ được xác định bởi g(a1v1+a2v2+a3v3)= a1w1+a2w2.
CMR dãy $0\rightarrow \overset{f}{U\rightarrow} V \overset{g}{\rightarrow} W \rightarrow 0$ khớp tại U W nhưng không khớp tại V
#9
Posted 14-05-2015 - 05:09
Cho U là không gian 1 chiều có cơ sở là $\{ u \}$ , Cho V là không gian 3 chiều có cơ sở là $ \{ v_{1} ,v_{2}, v_{3} \}$ , Cho W là không gian 2 chiều có cơ sở là $ \{w _{1} , w_{2} \}$ . cho f : $U\rightarrow V$ được xác định bởi f(au)= av1+av2 , g: $V\rightarrow W$ được xác định bởi g(a1v1+a2v2+a3v3)= a1w1+a2w2.
CMR dãy $0\rightarrow \overset{f}{U\rightarrow} V \overset{g}{\rightarrow} W \rightarrow 0$ khớp tại U, W nhưng không khớp tại V.
Ghi lại định nghĩa của hàm $f$ và hàm $g$, để định nghĩa hàm từ không gian vector, ta chỉ cần định nghĩa trên cơ sở của domain là được. Nhìn vào tác động của hàm đó trên từng vector trên cơ sở, ta sẽ dễ hiểu những hàm đó hơn. Ta có, $f(u)= v_1+v_2$ và $g(v_1)=w_1$, $g(v_2)=w_2$, $g(v_3)=0$. Như vậy, chưa cần làm gì hết, ta đã thấy hàm $g$ là một natural projection lên $W$ vì $V=Kv_1 \oplus Kv_2 \oplus Kv_3$ và $g(V)= Kw_1 \oplus Kw_2 \oplus 0 = W$. Nên $g$ là toàn ánh, nên dãy trên khớp tại $W$.
Để thấy dãy trên khớp tại $U$, ta cần chứng minh $f$ là đơn ánh. Điều này dễ chứng minh.
Để thấy dãy trên không khớp tại $V$, ta chỉ cần cho thấy $im(f) \ne ker(G)$. Để thấy điều đó, dễ nhất là $f(u)=v_1+ v_2 \in im(f)$ nhưng $g(v_1+v_2)=w_1+w_2 \ne 0$ nên $v_1+v_2 \notin ker(g)$.
(dãy này thậm chí không phải là complex)
Edited by fghost, 14-05-2015 - 05:10.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users