Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $A=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
butbimauxanh1629

butbimauxanh1629

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Đề bài: Cho a, b, c dương mà $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

Tìm GTNN của $A=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$



#2
turbopascal

turbopascal

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

     Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$. Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$

$\Rightarrow$ $A \geq a+b+c + \frac{9}{a+b+c}$.

Lại có:

      $a+b+c+\frac{9}{4}.\frac{1}{a+b+c}$ $\geq 3$.  Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a+b+c=\frac{3}{2}$  $\left ( 1 \right )$

  và $\frac{27}{4}.\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{9}{2}$.  Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a+b+c=\frac{3}{2}$ $\left ( 2 \right )$

Cộng vế của $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ $\Rightarrow$ $A\geq \frac{15}{2}$.

    Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\frac{1}{2}$      


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi turbopascal: 12-05-2015 - 16:27

        "Triết lý của tôi rất giản đơn. Cái gì trống thì làm đầy. Cái gì đầy thì đổ ra. Chỗ nào ngứa thì gãi."           -Alice Roosevelt Longworth.  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin: 

 


#3
butbimauxanh1629

butbimauxanh1629

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

     Ta có: $a+b+c\geq \frac{9}{a+b+c}$. Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$

$\Rightarrow$ $A \geq a+b+c + \frac{9}{a+b+c}$.

Lại có:

      $a+b+c+\frac{9}{4}.\frac{1}{a+b+c}$ $\geq 3$.  Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a+b+c=\frac{3}{2}$  $\left ( 1 \right )$

  và $\frac{27}{4}.\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{9}{2}$.  Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a+b+c=\frac{3}{2}$ $\left ( 2 \right )$

Cộng vế của $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ $\Rightarrow$ $A\geq \frac{15}{2}$.

    Dấu $''= ''$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\frac{3}{2}$      

Đoạn màu đỏ bạn ghi nhầm thì phải: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

                                                    ............................................     

 

                                                 Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi butbimauxanh1629: 12-05-2015 - 15:37





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh