Chủ đề này có 2 trả lời

[cothomex]

Chứng minh rằng mỗi nửa nhóm đều được coi là nửa nhóm con của vị nhóm

[phamthingochuyen]

bài tập nguyên bản bằng tiếng anh, giải dùm mình với...

File gửi kèm

•  DSC_00591.JPG   52.75K   1 Số lần tải
•  DSC_00601.JPG   52.97K   0 Số lần tải

[fghost]

một vành giao hoán là vành địa phương khi nó có duy nhất 1 idean tối đại.

a/ cmr mỗi vành giao hoán mà mạng lưới ide an của nó là một chuỗi (trong $\mathbb{Z}_{p}$)  là vành địa phương. Bạn có thể đưa ra 1 VD về 1 vành địa phương giao hoán mà mạng lưới idean của nó không phải là chuỗi hay không...

b/ cho $p\in \mathbb{Z}$ là số nguyên tố và tập $\mathbb{Z}_{(p)}=  \{ \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}: ~b\notin \mathbb{Z}_p\}$. cmr $\mathbb{Z}_{(p)}$ là vành địa phương với idean cuc đại là $p\mathbb{Z}_{(p)}$

c/ cmr mạng lưới idean của vành địa phương $\mathbb{Z}_{(p)}$được sắp xếp thứ tự cùng nhau ( nghĩa là mỗi tập khác rỗng có 1 phần tử lớn nhất)

 

Mình có 1 vài câu hỏi nữa:

. Thế nào là mạng lưới ideal là một chuỗi trong $Z_p$?

. Thế nào là mạng lưới ideal của 1 vành được xếp theo thứ tự cùng nhau? Bạn nói đó là "mỗi tập khác rỗng có 1 phần tử lớn nhất", trong trường hợp này có nghĩa là vành đó là vành Noetherian (Noether)?

 

a. Mình đoán mạng lưới ideal là 1 chuỗi nghĩa là bạn có thể xếp ideal của vành đó thành 1 dãy

$$ \dots \subsetneq I_i \subsetneq I_{i+1} \subsetneq \dots$$

Nếu chuỗi đó cố định, thì dĩ nhiên chuỗi đó có phần tử tối đại, nói cách khác vành đó là vành địa phương.

 

Ví dụ vành địa phương mà lattice không phải là 1 chuỗi: $k[[x,y]]$ với ideal tối đại $(x,y)$ và lattice của nó không phải là 1 chuỗi vì $0 \subset (x) \subset (x,y)$ và $0 \subset (y) \subset (x,y)$.

 

b. c. Mình ghi lại $Z_p$ là $(p)$ là ideal của $Z$ được sinh ra bởi $p$.

 

Để giải (b.) và (c.) ta muốn xác lập 1-1 correspondence như sau:

Xét $\varphi: Z \rightarrow Z_{(p)}$ với $a \mapsto \frac{a}{1}$. Dễ thấy $\varphi$ well-defined. Với $I$ là ideal của $Z$ và $J$ là ideal của $Z_{(p)}$. Gọi $I^e= \varphi(I)Z_{(p)}$ là ideal của $Z_{(p)}$ và $J^c= \varphi^{-1}(J)$ là ideal của $Z$.

$$\{I \subset Z| ~ I \text{ ideal và } I \subset (p) \} \leftrightarrow \{J \subset Z_{(p)}| ~ J \text{ ideal}\}$$

và correspondence được cho bởi $I \mapsto I^e$ và $J \mapsto J^{c}$.

 

Sau khi có 1-1 correspondence đó, ta thấy ideal tối đại của $Z_{(p)}$ sẽ corresponding với ideal tối đại nằm trong $(p)$ nên sẽ corresponding với $(p)$, và theo correspondence đó, ideal tối đại của $Z_{(p)}$ là $pZ_{(p)}$.

 

Claim: mọi ideal thực sự $J$ của $Z_{(p)}$ có dạng $J=I^e$ với $I$ là ideal nào đó của $Z$.

 

Ta có $J^{ce} \subset J$ hiển nhiên. Ta muốn chứng minh $J \subset J^{ce}$. Gọi $x=\frac{r}{s} \in J$ nên $xs=\frac{r}{1} \in J \cap \varphi(Z)$ nên $r \in J^c$.  Nên $x=\frac{1}{s}\frac{r}{1} \in Z_{(p)}J^c=J^{ce}$.

 

Đến đây ta có thể giải câu (b). Vì mọi ideal của $Z_{(p)}$ đều có dạng $J=J^{ce}=(J^{c})^e$. Gọi $I=J^c$ là ideal của $Z$. Nhận xét $I \subset (p) \subset Z$. Vì sao? Vì nếu tồn tại $x \in I$ và $x\notin (p)$ thì $\varphi(x)$ là 1 unit trong $Z_{(p)}$ vì $\varphi(x)=\frac{x}{1}$ và phần tử nghịch đảo của nó là $\frac{1}{x}$. Đến đây ta thấy, $\varphi(x)$ là unit và $J=Z_{(p)}$. Vô lý.

 

Nên ideal tối đại $J$ của $Z_{(p)}$ sẽ có $J^c=(p)$. Nói cách khác, đó là $pZ_{(p)}$.

 

Ta đã có 1 chiều của correspondence $J^{ce}=J$. Để hoàn thành correspondence đó, ta cần $I^{ec}=I$. Ta thấy

$$I^{ec}=\varphi^{-1}(I^e)= \varphi^{-1}(\varphi(I)Z_{(p)})=\{x \in Z| ~ sx \in I \text{ và } s \notin (p)\}$$

(nhìn vào kí hiệu $\varphi^{-1}(\varphi(I)Z_{(p)})$, ta cần những phần tử $x$ của $Z$, sao cho $x$ là preimage của 1 phần tử nào đó trong $\varphi(I)Z_{(p)}$, tức là $x$ sao cho $\frac{x}{1} \in \varphi(I)Z_{(p)}$. Nhưng mà 1 phần tử nằm trong $\varphi(I)Z_{(p)}$ tức là $\frac{x}{1}=\frac{y}{s}$ với $y \in I$ và $s \notin (p)$. Nên ta cần $sx=y \in I$ và $s \notin (p)$).

Sau khi ta có $I^{ec}=\{x \in Z| ~ sx \in I \text{ và } s \notin (p)\}$ và ta đã có sẵn $I \subset (p)$, nên ta có $I^{ec}=\{x \in Z| ~ sx \in I \text{ và } s \notin (p)\}=I$.

 

Vì vậy, ta có chiều còn lại của correspondence. Sau khi ta đã có 1-1 correspondence giữa 2 tập hợp này, ta thấy tính chất "mỗi tập con khác không của tập bên tay phải phải có phần tử tối đại" tương đương với "mỗi tập con khác không của tập bên tay trái phải có phần tử tối đại", mà vì $Z$ là vành Noether, nên tính chất đó của tập bên tay trái là hiển nhiên.