Câu 13 :(Balkan MO , 2014) Cho $x,y,z>0$ thỏa : $xy+yz+zx=3xyz$ . Chứng minh rằng :
$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\geq 2(x+y+z)-3$
P/s : Mong các bạn tham gia sôi nổi nhé !
Có bổ đề này đã được chứng minh trên diễn đàn:
Với $a,b,c$ thực dương thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
Với $a+b+c=3$ thì ta có:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a^2+b^2+c^2$
Áp dụng bổ đề này thì BĐT cần chứng minh tương đương với:
$a^2+b^2+c^2+3abc\geq 2(ab+bc+ac)$ Với $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$
BĐT trên chính là BĐT Schur.
Còn vài cách khác nữa(AM-GM) cũng rất hay...Tự nhiên thấy lỗi này mòn quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 17-05-2015 - 08:10