Chủ đề này có 501 trả lời

[longatk08]

Bài 20:(Làm mạnh từ JBMO)

Chứng minh BĐT sau với $a,b,c$ thực dương:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9+\sqrt[3]{\frac{54(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{a^2b^2c^2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 17-05-2015 - 19:41

[nhungvienkimcuong]

Câu 17:(Iran MO 2014, vòng 2) Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Chứng tỏ rằng:

$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$

lấy ý tưởng từ bài toán trên mình nghĩ ra bài toán sau

câu 21:

cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$.Tìm GTLN của biểu thức

$P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 18:57

[khanghaxuan]

Bài 20 : 

Đặt : $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c & & \\ q=ab+bc+ca & & \\ r=abc & & \end{matrix}\right.$

Sau khi quy đồng , khai triển ta thấy hàm $f(r)$ là hàm lồi theo $r$ nên theo định lý ABC thì ta chỉ cần chứng minh 2 TH sau : 

TH1 : Khi $c\rightarrow 0$ thì thấy bddt hiển nhiên đúng

TH2:  Khi $a=b$ thì ta cần chứng minh : $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$ (luôn đúng ) 

[khanghaxuan]

Bài 19 : 

$(\sum a)+\frac{3(\sum a)}{\sum ab}\geq 2\sqrt{(\sum a)(\frac{3(\sum a)}{\sum ab})}\geq 2\sqrt{\frac{3.3(\sum ab)}{\sum ab}}=6$

[ducvipdh12]

Câu 22: ( India NMO 2007 )

Cho $x,y,z>0$. CMR:

$(x+y+z)^2(yz+zx+xy)^2\leq 3(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 17-05-2015 - 20:08

[khanghaxuan]

Câu 22 : 

$(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)\Rightarrow (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}\leq \frac{81}{64}((x+y)(y+z)(z+x))^{2}$(1) 

Mặt khác : $x^{2}+xy+y^{2}=(x+y)^{2}-xy\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}$

Nên $3\prod (x^{2}+xy+y^{2})\geq 3\frac{3^{3}}{4^{3}}\prod (x+y)^{2}=\frac{81}{64}\prod (x+y)^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có ĐPCM 

[khanghaxuan]

Câu 9 : ( Ý tưởng quy nạp )

• Với $n=1$ , ta sẽ chứng minh : $\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\leq a_{1}+\frac{a_{2}}{\sqrt{2}+1}$
  $\Rightarrow a_{2}\leq \frac{2a_{1}}{\sqrt{2}+1}+\frac{a_{2}}{3+2\sqrt{2}}$
  Mặt khác ta có : $a_{1}\geq a_{2}$ nên ta cần chứng minh : $1\leq \frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=1$(đúng )

      Giả sử bất đẳng thức đúng với $n$ . Ta sẽ chứng minh BĐT đúng với $n+1$

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}^{2}}\leq a_{1}+...+\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Mặt khác ta có: $a_{1}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\geq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$

Nên ta cần chứng minh : $\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}^{2}}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}+\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$\Leftrightarrow \frac{a_{n+1}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}}a_{i}^{2}}\leq \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Lại có : $a_{1}\geq ...\geq a_{n+1}$

Nên $\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}^{2}}\geq \sqrt{n+1}.a_{n+1}$

       $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}\geq \sqrt{n}.a_{n+1}$

Do đó : $\frac{a_{n+1}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}}a_{i}^{2}}\leq \frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}.a_{n+1}+\sqrt{n}.a_{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

Vậy ta có ĐPCM

[nhungvienkimcuong]

câu 23:(JBMO TST 2015)

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.CMR

$a+b+c\geq 3\sqrt[5]{abc}$

mình xin giải luôn do bài toán này đơn giản chỉ cần dùng bài toán $(a+b+c)^5\geq 81abc(a^2+b^2+c^2)$ 

@Khanghaxuan: Mình nghĩ nên để các mem trao đổi cho topic chất lượng hơn nhé !Thân

@nhungvienkimcuong:Cảm ơn cậu,mình sẽ rút kinh nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 18-05-2015 - 04:35

[khanghaxuan]

Câu 24 :  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$. Tìm GTLN và GTNN của : 

$f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$

Câu 25 :  Cho $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng  

$\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{b}+6\sqrt{3}c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{c}+6\sqrt{3}a}\leq \frac{1}{abc}$

 

P/s : Thế là hết bài tồn đọng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 17-05-2015 - 20:59

[ducvipdh12]

Câu 24 :  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$. Tìm GTLN và GTNN của : 

$f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$

Câu 25 :  Cho $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng  

$\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{b}+6\sqrt{3}c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{c}+6\sqrt{3}a}\leq \frac{1}{abc}$

 

P/s : Thế là hết bài tồn đọng 

câu 25 có vẻ là 1 mở rộng của bài tóan này:

Câu 26: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR

$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$

[ducvipdh12]

Câu 24 :  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$. Tìm GTLN và GTNN của : 

$f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$

Câu 25 :  Cho $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng  

$\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{b}+6\sqrt{3}c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{c}+6\sqrt{3}a}\leq \frac{1}{abc}$

 

P/s : Thế là hết bài tồn đọng 

Câu hỏi đặt ra là liệu bài tóan 25 có thể tổng quát hóa lên được không

[nhungvienkimcuong]

Câu 25 :  Cho $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng  

$\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{b}+6\sqrt{3}c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{c}+6\sqrt{3}a}\leq \frac{1}{abc}$

Câu 26: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. CMR

$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$

Câu hỏi đặt ra là liệu bài tóan 25 có thể tổng quát hóa lên được không

câu 27:

Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $ab+bc+ca=1$.CMR

$\sqrt[n]{\left ( \sqrt{3} \right )^{n-3}\left ( a+\frac{6}{b}\right )}+\sqrt[n]{\left ( \sqrt{3} \right )^{n-3}\left (b+\frac{6}{c} \right )}+\sqrt[n]{\left ( \sqrt{3} \right )^{n-3}\left (c+\frac{6}{a} \right )}\leq \frac{1}{abc}\ \ \forall n\geq 3$

[khanghaxuan]

Mình nghĩ câu 27  hoặc là thế này : 

a. Với $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=1$ . CMR : 

$\sum \sqrt[n]{(\sqrt{3})^{n-3}(\frac{1}{a}+6b)}\leq \frac{1}{abc}$

Hoặc là thế này : 

b. Với $a,b,c>0$ thỏa : $ab+bc+ca=abc$ . CMR : 

$\sum \sqrt[n]{(\sqrt{3})^{n-3}(a+\frac{6}{b})}\leq abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 08:21

[khanghaxuan]

Tiếp nào 

Câu 28 : (2012 Baltic Way) Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR 

$ab+bc+ca+max\begin{Bmatrix} \left | a-b \right |,\left | b-c \right |,\left | c-a \right | \end{Bmatrix}\leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

 

 Câu 29 : Cho $a,b,c>0$ thỏa : $abc=1$ . CMR: 

$(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{c})^{2}+(c+\frac{1}{a})^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

 

P/s : Câu 29 giải bằng cách THCS nhé !

Chú ý : Bạn nào tham gia tích cực trong topic này sẽ nhận được một file tổng hợp các bài toán trong topic .Mong các bạn nhiệt tình hưởng ứng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 14:38

[nangcuong8e]

Tiếp nào 

Câu 28 : (2012 Baltic Way) Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR 

$ab+bc+ca+max\begin{Bmatrix} \left | a-b \right |,\left | b-c \right |,\left | c-a \right | \end{Bmatrix}\leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

 

 Câu 29 : Cho $a,b,c>0$ thỏa : $abc=1$ . CMR: 

$(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{c})^{2}+(c+\frac{1}{a})^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

 

P/s : Câu 29 giải bằng cách THCS nhé !

Chú ý : Bạn nào tham gia tích cực trong topic này sẽ nhận được một file tổng hợp các bài toán trong topic .Mong các bạn nhiệt tình hưởng ứng 

Câu 29: Ta có: $\sum (a+\frac{1}{b})^2 \geq \frac{(a+b+c +\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2}{3} \geq \frac{(a+b+c+3)^2}{3}$

 Do đó ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c+3)^2}{3} \geq 3(a+b+c+1) \Leftrightarrow (a+b+c+3)^2 \geq 9(a+b+c+1)$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^2 -3(a+b+c) \geq \Leftrightarrow a+b+c \geq 3$ (luôn đứng với AM-GM và $abc=1$)

 Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[nhungvienkimcuong]

Câu 28 : (2012 Baltic Way) Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR 

$ab+bc+ca+max\begin{Bmatrix} \left | a-b \right |,\left | b-c \right |,\left | c-a \right | \end{Bmatrix}\leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

WLOG $\left | a-b \right |=max\left \{ \left | a-b \right |,\left | b-c \right |,\left | c-a \right | \right \}$

ta có 

$\frac{1}{3}\left ( \sum a\right )^2+1-\sum bc=\frac{\sum (a-b)^2}{6}+1=\frac{(a-b)^2+\left [ (b-c)^2+(c-a)^2 \right ]}{6}+1\geq$

                                                                                                                                       $\geq  \frac{(a-b)^2}{4}+1 \geq \left | a-b \right |$

do đó có $Q.E.D$

xin đề xuất một bài tương tự

Câu 30:(Bosnia 2008)

Cho $x,y,z$ là các số thực.CMR

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geq max\left \{ \frac{3}{4}(x-y)^2,\frac{3}{4}(y-z)^2,\frac{3}{4}(z-x)^2 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 18-05-2015 - 14:14

[Hoang Tung 126]

 

Câu 30:(Bosnia 2008)

Cho $x,y,z$ là các số thực.CMR

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\geq max\left \{ \frac{3}{4}(x-y)^2,\frac{3}{4}(y-z)^2,\frac{3}{4}(z-x)^2 \right \}$

Ta sẽ chứng minh : 

 

  $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq \frac{3}{4}(x-y)^2< = > 4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geq 3(x-y)^2< = > x^2+y^2+4z^2+2xy-4yz-4xz\geq 0< = > (x+y-2z)^2\geq 0$  (Luôn đúng)

 

Lập luận tương tự $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq \frac{3}{4}(y-z)^2$

 

                                $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq \frac{3}{4}(x-z)^2$

 

Từ đó $= > x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\geq max{\frac{3}{4}(x-y)^2,\frac{3}{4}(y-z)^2,\frac{3}{4}(x-z)^2}$

[khanghaxuan]

Lời giải câu 28 :

WLOG $\left | a-b \right |=max\begin{Bmatrix} \left | a-b \right |,\left | b-c \right |\left | c-a \right | \end{Bmatrix}$ 

$ab+bc+ca+a-b\leq 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+3+3b-3a-\sum ab\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b-1)^{2}+(c-b-2)^{2}+(a-c-2)^{2}\geq 3(*)$

Mà $(a-b-1)^{2}+(c-b-2)^{2}+(a-c-2)^{2}\geq \frac{(-1+2+2)^{2}}{3}=3$

Vậy ta có ĐPCM

[khanghaxuan]

Câu 29b : Cho $a,b,c>0$ thỏa : $abc=1$ . CMR: 

$(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{c})^{2}+(c+\frac{1}{a})^{2}\geq 3(a+b+c+1)+63(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 16:18

[binhnhaukhong]

Câu 29b : Cho $a,b,c>0$ thỏa : $abc=1$ . CMR: 

$(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{c})^{2}+(c+\frac{1}{a})^{2}\geq 3(a+b+c+1)+63(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}$

 

Câu 31 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . CMR : 

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}\geq \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Lặp câu 31 rồi kìa bạn.