Chủ đề này có 501 trả lời

[an1712]

Bài 150(Iran TST): Cho a,b,c>0: abc=1. CMR:
$\frac{a}{c+a(a^3+b^3)}+\frac{b}{a+b(b^3+c^3)}+\frac{c}{b+c(c^3+a^3)}\leq 1$

có:$(c+a(a^3+b^3))(c+\frac{bc}{a}+c)=(c+\frac{a^3}{bc}+\frac{b^2}{c})(2c+\frac{bc}{a})\geq (a+b+c)^2$

bdt $\Leftrightarrow \frac{3(\sum ab)}{(a+b+c)^2}\leq 1$ (luôn đúng)

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 148:(Poland 1998) Cho các số thực không âm $a,b,c,d,e,f$ thoả mãn $a+b+c+d+e+f=1$ và $ace+bdf\geq \frac{1}{108}$

Chứng minh:$abc+bcd+cde+def+efa+fba\geq \frac{1}{36}$

Bài 149:(Romania TST 1993) Tìm số thực dương $a$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x;y;z$

$\frac{x}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{y^{2}+x^{2}}}\geq a$

Câu 148: Hình như bạn đánh sai đề rồi, sao mình giải ra lại ngược dấu nhỉ

Ta có:$(ace+bdf)+(abc+bcd+cde+def+efa+fab)=(a+d)(b+e)(c+f)\leq \frac{(a+d+b+e+c+f)^3}{27}=\frac{1}{27}$

Từ đó => BĐT cuối phải là $\leq \frac{1}{36}$ chứ 

[dangkhuong]

Bài 152(IMO shortlist): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{1}{a^2+a+1}$$\geq$ 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 26-06-2015 - 16:18

[dogsteven]

Bài 152(IMO shortlist): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{1}{a^2+a+1}$$\leq 1$ 

Bất đẳng thức ngược chiều. (Có thể kiểm chứng bằng HFT (tiếp tuyến))

Có thể điều kiện là $abc=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-06-2015 - 17:10

[Nguyen Minh Hai]

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 26-06-2015 - 09:18

[canhhoang30011999]

Bài 152(IMO shortlist): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{1}{a^2+a+1}$$\leq 1$ 

bài này ngược dấu thật 

ta có $\sum \frac{1}{3}-\frac{1}{a^{2}+a+1}= \frac{(a-1)(a+2)}{3(a^{2}+a+1)}$

$\leq \frac{1}{9}(a+b+c-3)(\sum \frac{a+2}{a^{2}+a+1})= 0$ (bất đẳng thức chebysev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều)

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1$

[NguyenDangHuyYTNA]

Bài 154 (Nghệ an2009).Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất $H=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3-6(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 26-06-2015 - 09:18

[an1712]

Bài 154 (Nghệ an2009).Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất $H=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3-6(a+b+c)$

đổi biến 2 lần dùng p q r

$P\geq p^3-3.\frac{9+p^3}{4}-6.\frac{\frac{9}{p}+p^2}{4}+3\geq -15$

[NguyenDangHuyYTNA]

đổi biến 2 lần dùng p q r

$P\geq p^3-3.\frac{9+p^3}{4}-6.\frac{\frac{9}{p}+p^2}{4}+3\geq -15$

p=3,1 thì sao bạn

[dogsteven]

Bài 154 (Nghệ an2009).Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất $H=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3-6(a+b+c)$

Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$ thì $f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\left[a^3(b+c+\sqrt{bc})^2-6\right]\geqslant (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(9a^2-6)\geqslant 0$

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a\geqslant b=c=t$. Thay trực tiếp $a$ theo $t$ và khảo sát hàm số.

[an1712]

Giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$ thì $f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\left[a^3(b+c+\sqrt{bc})^2-6\right]\geqslant (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(9a^2-6)\geqslant 0$

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a\geqslant b=c=t$. Thay trực tiếp $a$ theo $t$ và khảo sát hàm số.

a xin góp 1 bài dồn biến, ko nghĩ bài này mạnh vậy,dùng shur bị ngược dấu.

ko mất tính tổng quát :$c\geq 1\Leftrightarrow ab\leq 1$

xét hàm : $\sqrt{\frac{b}{a}}\geq t\geq 1$

$f(t)=\frac{1}{a^3t^3}+\frac{t^3}{b^3}+\frac{1}{c^3}-6(at+\frac{b}{t}+c)$

=> $f'(t)=\frac{3(at^2-b)(a^2t^4+abt^2+b^2-2t^2a^3b^3)}{a^3b^3t^4}\geq \frac{3(at^2-b)(3abt^2-2a^3b^3t^2)}{a^3b^3t^4}$

mà $ab\geq a^3b^3$ $(vì ab\leq 1)$ và $at^2-b\leq 0$

$\Leftrightarrow f'(t)\leq 0$ (nghịch biến)

$\Rightarrow f(1)\geq f(\sqrt{\frac{b}{a}})$

$\Leftrightarrow f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$

đưa hàm t rồi tìm gtnn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 26-06-2015 - 15:34

[dangkhuong]

Bài 155:(Slovenia TST): Cho a,b,c>0. CMR: $a^2+b^2+c^2=3$ thì

$\sum \frac{a}{b+2}\leq 1$

[dogsteven]

Bài 155:(Slovenia TST): Cho a,b,c>0. CMR: $a^2+b^2+c^2=3$ thì

$\sum \frac{a}{b+2}\leq 1$

Bất đẳng thức trên tương đương với: $ab^2+bc^2+ca^2-abc\leqslant 2$

Giả sử $a=\text{median}\{b,c\}$ thì $bc^2+ca^2-a(c^2+bc)=c(a-c)(a-b)\leqslant 0$ nên $ab^2+bc^2+ca^2-abc\leqslant a(b^2+c^2)=a(3-a^2)\leqslant \dfrac{[4+(a-1)^2]^2}{8}\leqslant 2$ do $0\leqslant a\leqslant \sqrt{3}$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 26-06-2015 - 16:41

[dangkhuong]

Bài 156(Belarus TST) : cho đường tròn tâm O và 1 điểm A nằm ngoài dường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn, kẻ cát tuyến ADE đến đường tròn, BC giao DE tại I. CMR:

$\frac{ED}{ID}+\frac{IA}{EA}\geq 2\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra không? Nếu có thì khi nào? 

[dangkhuong]

Bài 157(Bulgaria TST): Cho a;b;c thuộc [0;2]. CMR:

$a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

[Hoang Long Le]

Bài 157(Bulgaria TST): Cho a;b;c thuộc [0;2]. CMR:

$a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

 Giả sử $a\geq b\geq c$

 Ta có : 

    $+)~~ a^3-5a+2=(a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$

    $+)~~b^3+5a-5ab-1=(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq (b-1)(a^2-4a+1)\leq 0$

    $+)~~c^3+5ab-5abc+1=(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^2+a+1-5a)\leq 0$

    $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

   Dấu "=" xảy ra khi có một biến bằng 2, hai biến bằng 1

[dogsteven]

 Giả sử $a\geq b\geq c$

 Ta có : 

    $+)~~ a^3-5a+2=(a-2)(a^2+2a-1)\leq 0$

    $+)~~b^3+5a-5ab-1=(b-1)(b^2+b+1-5a)\leq (b-1)(a^2-4a+1)\leq 0$

    $+)~~c^3+5ab-5abc+1=(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leq (c-1)(a^2+a+1-5a)\leq 0$

    $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 5abc$

   Dấu "=" xảy ra khi có một biến bằng 2, hai biến bằng 1

Đặt $f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3-5abc$. Khi đó giả sử $2\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$ thì ta có dãy bất đẳng thức:

$f(a,b,c)\leqslant g(2,b,c)\leqslant f(2,b,1)\leqslant f(2,1,1)=0$

[dangkhuong]

Bài 158(MOSP Shortlist): Cho a,b,c>0. CMR

$\sum \frac{a}{a^3-a^2+1}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 30-06-2015 - 15:11

[dangkhuong]

Bài 159(Balkan Shortlist): Cho a,b,c >0. CMR:

$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

[dangkhuong]

Bài 160(Ghana MO): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1. M là 1 điểm chuyển động trên đường tròn. Tìm vị trí của điểm M sao cho giá trị của biểu thức sau nhỏ nhất:

P=$\frac{1}{MA^3}+\frac{1}{MB^3}+\frac{1}{MC^3}+\frac{1}{MD^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 28-06-2015 - 16:59