Chủ đề này có 501 trả lời

[ducvipdh12]

Câu 31: (Korea MO 2006)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$xyz(x+2)(y+2)(z+2)\leq (1+\frac{2(xy+yz+xz)}{3})^3$

[ducvipdh12]

các bạn THCS cũng tham gia tích cực nhé, có nhiều bài cũng chỉ đơn thuần là áp dụng BĐT C-S thôi, không dùng gì cao siêu lắm đâu,thân!

[khanghaxuan]

Đây là file tổng hợp các BĐT từ đầu topic đến bây giờ 

http://www.mediafire...ality_in_MO.pdf

Mong các bạn tiếp tục tham gia tích cực nữa nhé ! Thân 

[ducvipdh12]

Đây là file tổng hợp các BĐT từ đầu topic đến bây giờ 

http://www.mediafire...ality_in_MO.pdf

Mong các bạn tiếp tục tham gia tích cực nữa nhé ! Thân 

sao không đợi đủ 50 bài rồi tổng hợp 1 lần luôn

[khanghaxuan]

sao không đợi đủ 50 bài rồi tổng hợp 1 lần luôn

Mình đang tổng hợp theo part rồi sau này gộp lại luôn  , chứ tổng hợp 1 lần mệt lắm

[khanghaxuan]

Lời giải câu 31 : 

Đặt : $\left\{\begin{matrix} a=x+y+z & & \\ b=xy+yz+zx & & \\ c=abc & & \end{matrix}\right.$

ĐPCM trở thành : $c(c+4a+2b+8)\leq (1+\frac{2b}{3})^{3}\Leftrightarrow 27c^{2}+27c(4a+2b+8)\leq (2b+3)^{3}(*)$

Mặt khác ta có : $27c^{2}\leq b^{3}\Rightarrow c\leq \frac{b\sqrt{b}}{3\sqrt{3}}$

Nên : $VT(*)\leq b^{3}+36b^{2}+27.\frac{b\sqrt{b}}{3\sqrt{3}}(2b+8)$

Ta cần chứng minh : $b^{3}+36b^{2}+27.\frac{b\sqrt{b}}{3\sqrt{3}}(2b+8)\leq (3+2b)^{3}(1)$

Thật vậy , $(1)\Leftrightarrow (7t^{4}+8\sqrt{3}t^{3}+27t^{2}+6\sqrt{3}t+9)(t-\sqrt{3})^{2}\geq 0$ (đúng với $t=\sqrt{b}$) 

Nên ta có ĐPCM

[khanghaxuan]

Câu  32 : Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

[ducvipdh12]

Câu  32 : Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài này nhẹ nhàng:

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

$\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt[4]{a^3b}}$

Chứng minh tương tự ta cần chứng minh: 

$\frac{1}{\sqrt[4]{a^3b}}+\frac{1}{\sqrt[4]{b^3c}}+\frac{1}{\sqrt[4]{c^3a}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đổi biến $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}=x,\frac{1}{\sqrt[4]{b}}=y,\frac{1}{\sqrt[4]{c}}=z$

Ta cần chứng minh:

$x^3y+y^3z+z^3x\leq x^4+y^4+z^4$ đến đây sử dụng Cosi là ok

[khanghaxuan]

Cách khác :

Ta có : $(\sum \frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}})^{2}\leq (\sum \frac{a}{a^{3}+b})(\sum \frac{1}{a})=3(\sum \frac{a}{a^{3}+b})$

Mà : $\sum \frac{a}{a^{3}+b}\leq \sum \frac{a}{2a\sqrt{ab}}=\frac{1}{2} \sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{2}.\sum \frac{1}{a}=\frac{3}{2}$

Nên $(\sum \frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}})^{2}\leq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow$ ĐPCM

[khanghaxuan]

Lời giải khác câu 31 :

$\prod x.\prod (x+2)=\prod (x\sqrt{yz}+2\sqrt{yz})\leq (\frac{\sum x\sqrt{yz}+2\sum \sqrt{yz} }{3})^{3}\leq (\frac{\sum xy+(\sum xy)+3}{3})^{3}=(\frac{2\sum xy}{3}+1)^{3}$ (ĐPCM

[ducvipdh12]

Câu 33: (Korea NMO 2012)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

P/s: có vẻ Hàn Quốc rất chú trọng BĐT thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 19-05-2015 - 16:30

[binhnhaukhong]

Câu 33: (Korea NMO 2012)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z^2)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

P/s: có vẻ Hàn Quốc rất chú trọng BĐT thì phải

Bài này mình giải ở đây:

Goal

[ducvipdh12]

@Khanghaxuan: sao chép lại lời giải giúp

P/s: lần sau các mem post lời giải luôn nhé,hiện tại khanghaxuan đang tổng hợp thành 1 file nên các bạn cứ dẫn link thì khó tổng hợp lắm,nếu được thì các bạn chịu khó gõ Latex luôn nhé

[binhnhaukhong]

Câu 34 (Iran TST 2015):Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=abc$.Chứng minh rằng:

$\frac{abc}{3\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab+1}+\frac{\sqrt{b^3+c^3}}{bc+1}+\frac{\sqrt{a^3+c^3}}{ac+1})\geq \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}$

 

Chặt hơn ta có: (Câu 34b)

$\frac{abc}{3\sqrt{2}\sqrt[4]{27}}(\frac{\sqrt{a^3+b^3}}{ab+1}+\frac{\sqrt{b^3+c^3}}{bc+1}+\frac{\sqrt{a^3+c^3}}{ac+1})\geq \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 19-05-2015 - 18:12

[khanghaxuan]

Lời giải câu 33 : (của binhnhaukhong)

Ta có : $(x+x+y)(z+\frac{z^{2}}{x}+y)\geq (\sqrt{xz}+z+y)^{2}\Rightarrow \frac{2x^{2}+xy}{(\sqrt{xz}+z+y)^{2}}\geq \frac{x}{z+\frac{z^{2}}{x}+y}=\frac{x^{2}}{z^{2}+xz+xy}$\

Tương tự ta cũng có : $\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}\geq \frac{y^{2}}{x^{2}+yx+yz}$

                                   $\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq \frac{z^{2}}{y^{2}+zy+zx}$

[khanghaxuan]

Lời giải câu 34b :

Ta có : $\sum \frac{a}{abc(a^{2}+1)}=\sum \frac{1}{abc.a+bc}=\sum \frac{1}{a(a+b+c)+bc}=\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(a+b+c)}{\prod (a+b)}=\frac{2abc}{\prod (a+b)}\leq \frac{1}{4}$

Nên ta cần chứng minh : $\frac{1}{3\sqrt{2}\sqrt[4]{27}}.(\sum \frac{\sqrt{a^{3}+b^{3}}}{ab+1})\geq \frac{1}{4}$

Ta có: $\sum \frac{\sqrt{a^{3}+b^{3}}}{ab+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\prod (a^{3}+b^{3})}}{\prod (ab+1)}}$

Mặt khác , $\prod (a^{3}+b^{3})\geq \frac{1}{4^{3}}(\prod (a+b))^{3}\geq \frac{1}{64}(\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca))^{3}\geq \frac{8}{27}(abc)^{5}\geq \frac{8\sqrt{3}}{9}(abc)^{4}$

Hơn nữa , $\prod (ab+1)=\frac{\prod (2a+b+c)}{abc}\leq \frac{(\frac{4abc}{3})^{3}}{abc}=\frac{64}{27}(abc)^{2}$

Nên $\frac{\sqrt{\prod (a^{3}+b^{3})}}{\prod (ab+1)}\geq \frac{\sqrt{8\sqrt{3}}(abc)^{2}}{\frac{64}{9}(abc)^{2}}=\frac{9\sqrt{8\sqrt{3}}}{64}$

Do đó : $\frac{1}{3\sqrt{2}\sqrt[4]{27}}.3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\prod (a^{3}+b^{3})}}{\prod (ab+1)}}\geq \frac{1}{3\sqrt{2}\sqrt[4]{27}}.3.\sqrt[3]{\frac{9\sqrt{8\sqrt{3}}}{64}}=\frac{1}{4}$ (ĐPCM

[khanghaxuan]

Câu 35 : Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}}{2+b+c^{2}}+\frac{b^{2}}{2+c+a^{2}}+\frac{c^{2}}{2+a+b^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{12}$

 

Câu 36 : Cho $a,b,c,d\geq 0$ thỏa mãn : $a+b+c+d=4$ .Chứng minh rằng : 

$\frac{a}{a^{3}+8}+\frac{b}{b^{3}+8}+\frac{c}{c^{3}+8}+\frac{d}{d^{3}+8}\leq \frac{4}{9}$

 

P/s : Relax nào

[Hoang Tung 126]

Câu 35 : Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}}{2+b+c^{2}}+\frac{b^{2}}{2+c+a^{2}}+\frac{c^{2}}{2+a+b^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{12}$

 

Câu 35: Theo Bunhiacopxki có :

 

   $\frac{a^2}{2+b+c^2}+\frac{b^2}{2+c+a^2}+\frac{c^2}{2+a+b^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6+(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a^2+b^2+c^2)}=\frac{(a+b+c)^2}{6+\sqrt{3.3}+3}=\frac{(a+b+c)^2}{12}$

 

  Dấu = xảy ra khi  $a=b=c=1$

[khanghaxuan]

Câu 35: Theo Bunhiacopxki có :

 

   $\frac{a^2}{2+b+c^2}+\frac{b^2}{2+c+a^2}+\frac{c^2}{2+a+b^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6+(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6+\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a^2+b^2+c^2)}=\frac{(a+b+c)^2}{6+\sqrt{3.3}+3}=\frac{(a+b+c)^2}{12}$

 

  Dấu = xảy ra khi  $a=b=c=1$

$a,b,c\in R$ anh à

[Hoang Tung 126]

 

Câu 36 : Cho $a,b,c,d\geq 0$ thỏa mãn : $a+b+c+d=4$ .Chứng minh rằng : 

$\frac{a}{a^{3}+8}+\frac{b}{b^{3}+8}+\frac{c}{c^{3}+8}+\frac{d}{d^{3}+8}\leq \frac{4}{9}$

 

 

Câu 36: Ta sẽ chứng minh :

 

  $\frac{a}{a^3+8}\leq \frac{2a+1}{27}$  (1)

 

Thật vậy (1) $< = > (2a+1)(a^3+8)\geq 27a< = > (a-1)^2(2a^2+5a+8)\geq 0$ (Luôn đúng) 

 

 Lập các cái tương tự $= > \sum \frac{a}{a^3+8}\leq \sum \frac{2a+1}{27}=\frac{2\sum a+4}{27}=\frac{2.4+4}{27}=\frac{4}{9}$

 

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=1$