Đến nội dung

Hình ảnh

Vành chính và vành đa thức nhiều biến


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thuylinh_909

thuylinh_909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
Cho R là trường số thực. Cmr vành đa thức R[ x,y] không là vành chính ?

#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho R là trường số thực. Cmr vành đa thức R[ x,y] không là vành chính ?

 

Ta chứng minh $m=(x,y)$ không phải là principal. Có nhiều cách để thấy điều này. Dùng dao giết trâu thì ta có thể dùng Krull Principal Ideal theorem, ta thấy nếu $m$ principal thì height của $m$ chỉ có thể tối đa là $1$, điều này vô lý, vì height của $m$ là $2$ ($0 \subsetneq (x) \subsetneq m$).

 

Cơ bản hơn thì giả sử $m=(f)$ với $f$ là 1 đa thức trong $R[x,y]$. Ta thấy $x \in (f)$ nên $f | x$ nên degree của $f$ chỉ có thể là $0$ hoặc $1$. Degree của $f$ không thể bằng $0$ vì khi đó $f \in R$ và $(f)= R[x,y]$. Nên degree của $f$ phải là $1$, và trong $R[x,y]$ đa thức có degree $1$ chỉ có thể là $x$ hoặc $y$. ta dễ thấy $(x) \ne m$ và $(y) \ne m$. Nên $m$ không phải principal.



#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
Ta cung co thê chưng minh theo mênh đe sau: R[x] la môt miên ideal chinh nêu va chi nêu R la một trường. Trong bai toan cua em, do R[x] không la một trường nên R[x][y] không la một miên ideal chinh.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh