Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min P=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
lethuhuyen14

lethuhuyen14

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

 Cho các số thực a,b,c dương không đồng thời bằng 0 thỏa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

                    P=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 16-05-2015 - 11:03


#2
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong các số $a,b,c$

Do tính đúng đắn của $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2, b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2, a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$

Đặt $a+\frac{c}{2}=x,b+\frac{c}{2}=y$ ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$

tức là: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{12}{x^2+y^2}\geq \frac{32}{(x+y)^2}$

$VT=(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{4}{x^2+y^2})+\frac{8}{x^2+y^2}\geq \frac{8}{2xy}+\frac{8}{x^2+y^2}\geq VP$

Thay $x+y=1$ ta có min=$32$

Dấu bằng khi $a=b=0,5,c=0$


NgọaLong

#3
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

BĐT trên là mở rộng của một BĐT rất hay, được gọi phổ biến là BĐT $vac's$

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{10}{(\sum a)^2}$


NgọaLong

#4
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong các số $a,b,c$

Do tính đúng đắn của $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2, b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2, a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$

Đặt $a+\frac{c}{2}=x,b+\frac{c}{2}=y$ ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$

tức là: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{12}{x^2+y^2}\geq \frac{32}{(x+y)^2}$

$VT=(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{4}{x^2+y^2})+\frac{8}{x^2+y^2}\geq \frac{8}{2xy}+\frac{8}{x^2+y^2}\geq VP$

Thay $x+y=1$ ta có min=$32$

Dấu bằng khi $a=b=0,5,c=0$

Em cũng không biết như thế nào nhưng mà nếu $a=b=c=\frac{1}{3}$ thì $P=\frac{33}{2}< 32$ nữa ạ  :wacko:



#5
Melodyy

Melodyy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bạn đó nhầm ở $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$
Thực ra chỉ $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq \frac{12}{(x+y)^2}$
CM $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\frac{x^2+y^2}{2x^2y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{2(x^2+y^2)}{4(xy)^4})}\geq \frac{12}{4xy}\geq \frac{12}{(x+y)^2}=12$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh