Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong các số $a,b,c$
Do tính đúng đắn của $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2, b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2, a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$
Đặt $a+\frac{c}{2}=x,b+\frac{c}{2}=y$ ta sẽ chứng minh:
$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$
tức là: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{12}{x^2+y^2}\geq \frac{32}{(x+y)^2}$
$VT=(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{4}{x^2+y^2})+\frac{8}{x^2+y^2}\geq \frac{8}{2xy}+\frac{8}{x^2+y^2}\geq VP$
Thay $x+y=1$ ta có min=$32$
Dấu bằng khi $a=b=0,5,c=0$