Chủ đề này có 9 trả lời

[Pham Quoc Thang]

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng: $ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{16(ab+bc+ca)}{5(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{18}{5} $

[khanghaxuan]

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$

[Pham Quoc Thang]

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$

 

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$

anh có thể chỉ em cái hướng giải quyết được không ạ

[binhnhaukhong]

anh có thể chỉ em cái hướng giải quyết được không

Dùng S.O.S hoặc S-S

[cachuoi]

bài trên sử dụng dồn biến về biên  dấu bằng khi 1 số bằng 0 ,2 số còn lại bằng nhau g/s a>=b>=c>=0

 chuẩn hóa a+b+c=2 thì ta cần cm (a+b+c) (1/(a+b) +1/(b+c)+1/(c+a))+8(a+b+c)^2/5(a^2+b^2+c^2)>=41/5

dồn biến f(a;b;c)>=f(a;b+c;0) bằng nhóm đơn giản tương đương với bc [64/(5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2))- ((2a+b+c)/(2(a+b)(a^2+ac))]>=0

do bc >=0 rồi nên chỉ cần cm 128(a+b)(a^2+ac)>=5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2)(2a+b+c)  trông có vẻ lằng nhằng nhưng cái này đánh giá bừa cũng đc

chú ý a^2+b^2+c^2 <=2(a^2+ac) và 2(a+b)=(a+b+c)(a+b)>=a^2+(b+c)^2  nên ta chỉ cần cm 32 >=5(2a+b+c) hiển nhiên đúng do 2a+b+c<=4 

còn lại thì đơn giản rồi

[longatk08]

Bài toán tổng quát:

 

Xác định số thực $k$ lớn nhất sao cho BĐT sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq k+\frac{3}{2}$

 

Số $k$ tốt nhất là $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

[cachuoi]

bài toán trên mà là tổng quát ? tìm gtnn theo k mới là bài toán tổng quát , ở trên k là 16/5 đã lớn hơn (căn3-1)/2 khá nhiều 

[cachuoi]

thực ra với mọi k >=(căn3-1)/2 thì dấu bằng xảy ra khi  hai biến bằng nhau và 1 số lại bằng 0 , chứng minh bằng dùng hàm số đơn giản thôi

[Pham Quoc Thang]

Đặt:$p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Chuẩn hóa $p=1$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:$r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge \frac{4q-1}{9}\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị

[longatk08]

Đặt:$p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Chuẩn hóa $p=1$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:$r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge \frac{4q-1}{9}\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị

Xét trường hợp dùng AM-GM thì hơn.