cho $0\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow A\rightarrow 0$ là một dãy khớp ngắn các moodun trong đó P là xạ ảnh. Chứng minh rằng với Y là một modun bất kì
$Tor_{n}\left ( A,Y \right )\cong Tor_{n-1}\left ( B,Y \right )$
cho $0\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow A\rightarrow 0$ là một dãy khớp ngắn các moodun trong đó P là xạ ảnh. Chứng minh rằng với Y là một modun bất kì
$Tor_{n}\left ( A,Y \right )\cong Tor_{n-1}\left ( B,Y \right )$
Xạ ảnh là projective? Mình đoán vậy vì bạn dùng chữ $P$ cho module xạ ảnh.
Hình như index của bạn bị ngược.
Dùng long exact sequence của Tor, ta có
$$Tor_{n-1}(B,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(P,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(A,Y) \rightarrow Tor_{n}(B,Y) \rightarrow Tor_{n}(P,Y) \rightarrow Tor_{n}(A,Y)$$
Vì $P$ projective, nên $Tor_i(P,Y)=0$ với mọi $i>0$. Nên với mọi $n>1$, ta có
$$0 \rightarrow Tor_{n-1}(A,Y) \rightarrow Tor_{n}(B,Y) \rightarrow 0$$
hay
$$Tor_{n-1}(A,Y) \cong Tor_{n}(B,Y)$$
Khi $n=1$, ta có
$$0 \rightarrow B \otimes Y \rightarrow P \otimes Y \xrightarrow{\varphi} A \otimes Y \rightarrow Tor_1(B,Y) \rightarrow 0$$
Tách dãy khớp trên ra tại $\varphi$, và gọi $K= coker(B \otimes Y \rightarrow P \otimes Y)$, ta có 2 dãy khớp
$$0 \rightarrow B \otimes Y \rightarrow P \otimes Y \rightarrow K \rightarrow 0$$
$$0 \rightarrow K \rightarrow A \otimes Y \rightarrow Tor_1(B,Y) \rightarrow 0$$
để $A \otimes Y \cong Tor_1(B,Y)$, ta cần $K=0$, nên $B \otimes Y \rightarrow P \otimes Y$ phải là toàn ánh. Nhưng mình không nghĩ điều này đúng vì $B \subsetneq P$ ngay cả khi $P$ free, thì $B \otimes Y \subsetneq P \otimes Y$.
Tóm lại, mình nghĩ ta chỉ chứng minh được
$$Tor_{n-1}(A,Y) \cong Tor_n(B,Y), ~ \forall n >1$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 17-05-2015 - 12:20
đề đúng mà bạn.
Cho mình hỏi thêm, tại sao $Tor_{i}\left ( P,Y \right )=0$ trong đó P là moodun xạ ảnh, i>0
Để tính $Tor_i(P,Y)$ ta có thể bắt đầu từ minimal projective resolution của $P$ nhưng vì $P$ đã là projective, nên resolution của $P$ chỉ là complex $P_.: 0 \rightarrow P \rightarrow P \rightarrow 0$ (nói cách khác đó là $P_.: \dots \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow P \rightarrow P \rightarrow 0$ với mọi $P_i=0$ khi $i>0$ và $P_0=P$). Sau đó ta $\otimes Y$, và tính homology. Theo định nghĩa, ta có
$$Tor_i(P,Y)= H_i(P_. \otimes Y)$$
Nhưng khi $i>0$ thì module $P_i=0$, nên $H_i(P_.\times Y)=0$, nên $Tor_i(P,Y)=0.$
Còn vị trí của index thì bạn đúng rồi, mình nhớ nhầm index của long-exact sequence của Tor. Mình sẽ sửa lại ở đây. Còn vấn đế khi $n=1$ thì mình vẫn giữ nguyên suy nghĩ là ta không thể chứng minh được điều đó tại $n=1$
Xạ ảnh là projective? Mình đoán vậy vì bạn dùng chữ $P$ cho module xạ ảnh.
Hình như index của bạn bị ngược.
Dùng long exact sequence của Tor, ta có
$$Tor_{n}(B,Y) \rightarrow Tor_{n}(P,Y) \rightarrow Tor_{n}(A,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(B,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(P,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(A,Y)$$
Vì $P$ projective, nên $Tor_i(P,Y)=0$ với mọi $i>0$. Nên với mọi $n>1$, ta có
$$0 \rightarrow Tor_{n}(A,Y) \rightarrow Tor_{n-1}(B,Y) \rightarrow 0$$
hay
$$Tor_{n}(A,Y) \cong Tor_{n-1}(B,Y)$$
Khi $n=1$, ta có
$$0 \rightarrow Tor_1(A,Y) \rightarrow Tor_0(B,Y) \cong B \otimes Y \rightarrow Tor_0(P,Y) \cong P \otimes Y \rightarrow Tor_0(A,Y) \cong A \otimes Y \rightarrow 0 $$
hay
$$0 \rightarrow Tor_1(A,Y) \rightarrow B \otimes Y \rightarrow P \otimes Y \xrightarrow{\varphi} A \otimes Y \rightarrow 0$$
Tách dãy khớp trên ra tại $\varphi$, và gọi $K= coker(Tor_1(A,Y) \rightarrow B \otimes Y)$, ta có 2 dãy khớp
$$0 \rightarrow Tor_1(A,Y) \rightarrow B \otimes Y \rightarrow K \rightarrow 0$$
$$0 \rightarrow K \rightarrow P \otimes Y \rightarrow A \otimes Y \rightarrow 0$$
để $Tor_1(A,Y) \cong Tor_0(B,Y) \cong B \otimes Y$, ta cần $K=0$, nên $P \otimes Y \rightarrow A \otimes Y$ phải là đơn ánh (nên là song ánh). Nhưng mình không nghĩ điều này đúng. Thí dụ, $R \rightarrow R/I \rightarrow 0$, ta $\otimes R$, ta không thay đổi gì cả, nên ta sẽ có $R \rightarrow R/I \rightarrow 0$ chỉ là toàn ánh chứ không phải song ánh.
Tóm lại, ta thấy điều này là vì $B$ là first syzygy module của $A$, nên với mọi left-derived functor, ta sẽ có $L_iF(A)=L_{i-1}F(B)$ với mọi $i>1$, và ta không thể biết điều gì sẽ xảy ra tại $i=1$. Còn Tor đơn giản chỉ được định nghĩa bởi left-derived functor của tensor product, cụ thể $Tor_i(-, Y)=L_i(- \otimes Y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 27-05-2015 - 04:04
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh