Mình đang suy nghĩ bài này: CMR $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. (Nguồn của bài này là lấy trong sách Algebra của Dummit and Foote, bài 4, chương 14.1. Chương này liên quan về field extension, galois groups...)
Mình suy nghĩ thế này, ko biết đúng ko nhưng ngoài ra mình chưa nghĩ ra cách khác:
Giả sử $\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ là isomorphism. Thì vì $\sigma(1)=1$, nên ta có thể suy ra là $\sigma(q)=q$ với mọi $q\in \mathbb{Q}$.
Với $f(t)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})[t]$, và $f'(t)=\sigma(f(t))=\sigma(1)t^2-\sigma(3)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Gọi $E$ là splitting field của $f(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, và $E'$ là splitting field của $f'(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Rõ ràng $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, và $E'=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.
Ta có một định lý là $\sigma$ có thể mở rộng ra thành một isomorphism giữa $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ và $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Tuy nhiên, hai trường này ko có isomorphic. Vì thế, giả thuyết ban đầu là sai. Cho nên $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 18-05-2015 - 13:14