Đến nội dung

Hình ảnh

isomorphism between two fields


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Mình đang suy nghĩ bài này: CMR $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. (Nguồn của bài này là lấy trong sách Algebra của Dummit and Foote, bài 4, chương 14.1. Chương này liên quan về field extension, galois groups...)

 

Mình suy nghĩ thế này, ko biết đúng ko nhưng ngoài ra mình chưa nghĩ ra cách khác:

 

Giả sử $\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ là isomorphism. Thì vì $\sigma(1)=1$, nên ta có thể suy ra là $\sigma(q)=q$ với mọi $q\in \mathbb{Q}$. 

Với $f(t)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})[t]$, và $f'(t)=\sigma(f(t))=\sigma(1)t^2-\sigma(3)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Gọi $E$ là splitting field của $f(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, và $E'$ là splitting field của $f'(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Rõ ràng $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, và $E'=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. 

Ta có một định lý là $\sigma$ có thể mở rộng ra thành một isomorphism giữa $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ và $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Tuy nhiên, hai trường này ko có isomorphic. Vì thế, giả thuyết ban đầu là sai. Cho nên $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 18-05-2015 - 13:14

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Mình đang suy nghĩ bài này: CMR $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. (Nguồn của bài này là lấy trong sách Algebra của Dummit and Foote, bài 4, chương 14.1. Chương này liên quan về field extension, galois groups...)

 

Mình suy nghĩ thế này, ko biết đúng ko nhưng ngoài ra mình chưa nghĩ ra cách khác:

 

Giả sử $\sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \to \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ là isomorphism. Thì vì $\sigma(1)=1$, nên ta có thể suy ra là $\sigma(q)=q$ với mọi $q\in \mathbb{Q}$. 

Với $f(t)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})[t]$, và $f'(t)=\sigma(f(t))=\sigma(1)t^2-\sigma(3)=t^2-3 \in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Gọi $E$ là splitting field của $f(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, và $E'$ là splitting field của $f'(t)$ over $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Rõ ràng $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, và $E'=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. 

Ta có một định lý là $\sigma$ có thể mở rộng ra thành một isomorphism giữa $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ và $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Tuy nhiên, hai trường này ko có isomorphic. Vì thế, giả thuyết ban đầu là sai. Cho nên $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is not isomorphic to $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

 

chỗ này bạn cần cẩn thận. Vì sao bạn biết $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ và $Q(\sqrt{3})$ không isomorphic?

 

Mình đoán bạn lý luận rằng $Q(\sqrt{3}) \subsetneq Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ nên $i: Q(\sqrt{3}) \hookrightarrow Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ chỉ 1-to-1 chứ không onto. Nhưng điều đó không có nghĩa không tồn tại 1 homomorphism khác làm cho 2 trường kia isomorphic.

 

hình như bài này mình đã giải ở đây, bạn xem thử.

http://diendantoanho...ấu-với-vành/



#3
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

chỗ này bạn cần cẩn thận. Vì sao bạn biết $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ và $Q(\sqrt{3})$ không isomorphic?

 

Mình đoán bạn lý luận rằng $Q(\sqrt{3}) \subsetneq Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ nên $i: Q(\sqrt{3}) \hookrightarrow Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$ chỉ 1-to-1 chứ không onto. Nhưng điều đó không có nghĩa không tồn tại 1 homomorphism khác làm cho 2 trường kia isomorphic.

 

hình như bài này mình đã giải ở đây, bạn xem thử.

http://diendantoanho...ấu-với-vành/

 

hi fghost, mình xem cách giải của bạn rồi; đơn giản mà hiệu quả. Mình suy nghĩ hơi quá  và ko chặc chẽ cho bài này. Cảm ơn bạn :)


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh