Đến nội dung


Hình ảnh

$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$

tổng hợp đề 2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-05-2015 - 20:55

$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)

Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:

$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 469 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 11-11-2021 - 10:41

$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)

Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:

$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$

Ý tưởng câu này tương tự ở đây

 

Đặt $m=\left \lfloor n\sqrt{d} \right \rfloor$. Khi đó

$$n^2d-m^2=\left \{ n\sqrt{d} \right \}(n\sqrt{d}+m)\le 2\left \{ n\sqrt{d} \right \}n\sqrt{d}$$

Ta sẽ chọn $d$ không phải là số chính phương $(1)$, dẫn tới

\[n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{n^2d-m^2}{2}\]

Tiếp đến ta sẽ chọn $d$ phù hợp sao cho $n^2d-m^2\notin \{1,2,3,4\}$ $(2)$

 

Với $20$ số nguyên dương liên tiếp thì sẽ tồn tại $d$ có dạng $20k+15$, khi đó $d$ thỏa $(1)$ và $(2)$. Thật vậy

  • $d\equiv 3\pmod{4}$ nên $d$ không phải số chính phương
  • Tồn tại số nguyên tố $p\equiv 3\pmod{4}$ sao cho $p\mid 4k+3$, khi đó $p\mid n^2d$. Mặt khác $p\nmid a^2+1^2, a^2+2^2$ với mọi số nguyên $a$ nên $n^2d\neq m^2+1,m^2+4$
  • $5\mid n^2d$ nhưng $5\nmid a^2+2,a^2+3$ với mọi số nguyên $a$ nên $n^2d\neq m^2+2,m^2+3$

Với cách chọn $d$ như trên ta có được $n^2d-m\ge 5$ nên có được điều cần chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 11-11-2021 - 10:42

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổng hợp đề 2015

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh