$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)
Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:
$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$
$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)
Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:
$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$
$\boxed{\text{Problem 2}}$ (Balkan MO 2015)
Chứng minh rằng trong $20$ số nguyên dương liên tiếp có một số nguyên dương $d$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, bất đẳng thức sau đúng:
$n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{5}{2}$
Ý tưởng câu này tương tự ở đây
Đặt $m=\left \lfloor n\sqrt{d} \right \rfloor$. Khi đó
$$n^2d-m^2=\left \{ n\sqrt{d} \right \}(n\sqrt{d}+m)\le 2\left \{ n\sqrt{d} \right \}n\sqrt{d}$$
Ta sẽ chọn $d$ không phải là số chính phương $(1)$, dẫn tới
\[n\sqrt{d}\left \{ n\sqrt{d} \right \}>\frac{n^2d-m^2}{2}\]
Tiếp đến ta sẽ chọn $d$ phù hợp sao cho $n^2d-m^2\notin \{1,2,3,4\}$ $(2)$
Với $20$ số nguyên dương liên tiếp thì sẽ tồn tại $d$ có dạng $20k+15$, khi đó $d$ thỏa $(1)$ và $(2)$. Thật vậy
Với cách chọn $d$ như trên ta có được $n^2d-m\ge 5$ nên có được điều cần chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 11-11-2021 - 10:42
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Nếu $p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$ là một số chính phương thì $m$ cũng chính phươngBắt đầu bởi Juliel, 18-05-2015 tổng hợp đề 2015 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh