Cho $a+b\neq0$
Cm: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$
Bài này bài cuối thi HSG cấp trường 0,5 đ không làm được cmn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 22-05-2015 - 20:51
$a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$
Bắt đầu bởi anhtukhon1, 22-05-2015 - 20:45
#2
Đã gửi 22-05-2015 - 20:59
congdaoduy9a
-
- Thành viên
-
- 338 Bài viết
Sĩ quan
Xét $ab+1\geq 0$ $\Rightarrow$ $a^{2}+b^2+2ab+(\frac{ab+1}{a+b})^2-2ab\geq 2(ab+1)-2ab=2$
Xét ab+1<0
$\Rightarrow a^{2}+b^2+2ab+(\frac{ab+1}{a+b})^2-2ab\geq 2\left | ab+1 \right |-2ab=-2-4ab$
$ab+1< 0\Rightarrow -4-4ab> 0\Rightarrow -2-4ab> 2$
Do đó bđt được cm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 22-05-2015 - 21:14
- anhtukhon1, songokucadic1432, arsfanfc và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 22-05-2015 - 21:08
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
Đặt $-c=\frac{ab+1}{a+b}\Rightarrow ab+bc+ca=-1$
$\left ( \sum a \right )^{2}\geq 0\Rightarrow \sum a^{2}\geq -2\sum ab=2$
- arsfanfc, hoanglong2k, vda2000 và 1 người khác yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#4
Đã gửi 22-05-2015 - 21:11
anhtukhon1
-
- Thành viên
-
- 480 Bài viết
Sĩ quan
Đặt $-c=\frac{ab+1}{a+b}\Rightarrow ab+bc+ca=-1$
$\left ( \sum a \right )^{2}\geq 0\Rightarrow \sum a^{2}\geq -2\sum ab=2$
Cái này chưa học bạn ạ
#5
Đã gửi 22-05-2015 - 21:15
arsfanfc
-
- Thành viên
-
- 377 Bài viết
Sĩ quan
Cái này chưa học bạn ạ
$(a+b+c)^2 \geq 0 => a^2+b^2+c^2 \geq -2(ab+bc+ca)=2 $
- anhtukhon1 và hoanglong2k thích
~YÊU ~
#6
Đã gửi 22-05-2015 - 23:32
tank06536
-
- Thành viên
-
- 52 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $a+b\neq0$
Cm: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$
Bài này bài cuối thi HSG cấp trường 0,5 đ không làm được cmn
tham khao thu cach nay nhe
đặt B= a^{2}+b^{2}+ (\frac{ab+1}{a+b})^{2}
B= a^{2} +b^{2}+2ab +$(\frac{ab+1}{a+b})^{2} -2ab$ =$(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}-2ab$
áp dụng bdt cauchy ta đc
B$\geq 2\sqrt{(a+b)^{2}(\frac{ab+1}{a+b})^{2}}$ -2ab = 2(ab+1)-2ab =2 (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tank06536: 22-05-2015 - 23:35
- anhtukhon1 yêu thích
#7
Đã gửi 23-05-2015 - 22:04
anhtukhon1
-
- Thành viên
-
- 480 Bài viết
Sĩ quan
tham khao thu cach nay nhe
đặt B= a^{2}+b^{2}+ (\frac{ab+1}{a+b})^{2}
B= a^{2} +b^{2}+2ab +$(\frac{ab+1}{a+b})^{2} -2ab$ =$(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}-2ab$
áp dụng bdt cauchy ta đc
B$\geq 2\sqrt{(a+b)^{2}(\frac{ab+1}{a+b})^{2}}$ -2ab = 2(ab+1)-2ab =2 (đpcm)
Mình tưởng BDT cauchy chỉ dùng cho số dương thôi chứ nhỉ
#9
Đã gửi 25-04-2021 - 21:34
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $a+b\neq0$
Cm: $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 2$
Bài này bài cuối thi HSG cấp trường 0,5 đ không làm được cmn
$VT-VP=\frac{(a^2+ab+b^2-1)^2}{(a+b)^2}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
