Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh đẳng thức lượng giác sau

* * * * - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán . Chứng minh rằng:

                 $\sum_{k=1}^{n}\left ( tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}=n\prod_{k=1}^{n}\left (tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 23-05-2015 - 12:08


#2
sinh vien

sinh vien

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 260 Bài viết

Bài toán.Chứng minh rằng :

   $\frac{1}{sin^{2}\frac{\pi }{4k+2}}+\frac{1}{sin^{2}\frac{3\pi }{4k+2}}+\frac{1}{sin^{2}\frac{5\pi }{4k+2}}+...+\frac{1}{sin^{2}\frac{(2k-1)\pi }{4k+2}}=2k(k+1)$



#3
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Bài toán . Chứng minh rằng:

                 $\sum_{k=1}^{n}\left ( tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}=n\prod_{k=1}^{n}\left (tan\frac{k\pi }{2n+1} \right )^{2}$

Theo Moivre: $\sum_{k=0}^{2n+1}C_{2n+1}^k\left (\cos\frac{k\pi}{2n+1}  \right )^{2n+1-k}\left (i\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}  \right )^k=\left({\cos\frac{k\pi}{2n+1}} + i\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}\right)^{2n+1}=(-1)^{k}$

Do đó phần ảo của tổng trên phải bằng 0, tức là:

$$\sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^{2k+1}\left (\cos\frac{k\pi}{2n+1}  \right )^{2n-2k}\left (i\sin{\frac{k\pi}{2n+1}}  \right )^{2k+1}=0$$

Chia 2 vế cho $\left (\cos\frac{k\pi}{2n+1}  \right )^{2n+1}\ne 0$, ta dc:

$$ \sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^{2k+1}\left (i\tan{\frac{k\pi}{2n+1}}  \right )^{2k+1}=0\\\implies \sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^{2k+1}\left (i\tan{\frac{k\pi}{2n+1}}  \right )^{2k}=0\\\iff \sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^{2k+1}(-1)^k\cdot x^k=0,\quad x=\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}$$

Từ đó, theo định lý Viete, ta có:

$$\implies \sum_{k=1}^nx_k=-\frac ba=-\frac{(-1)^{n-1}C_{2n+1}^{2n-1}}{(-1)^n}=n(2n+1)$$

Với $\prod_{k=1}^nx_k$, khi n chẵn thì ta có số số hạng là số lẻ (VD phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c=0$) thì tích của nó sẽ bằng $\prod_{k=1}^nx_k=\frac{C_{2n+1}^1}{(-1)^n}=2n+1$

Khi n lẻ tích của nó bằng $\prod_{k=1}^nx_k=-\frac{C_{2n+1}^1}{(-1)^n}=2n+1$

Từ đó ta suy ra được đpcm. $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 15-08-2015 - 07:05


#4
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Bài toán.Chứng minh rằng :

   $\frac{1}{sin^{2}\frac{\pi }{4k+2}}+\frac{1}{sin^{2}\frac{3\pi }{4k+2}}+\frac{1}{sin^{2}\frac{5\pi }{4k+2}}+...+\frac{1}{sin^{2}\frac{(2k-1)\pi }{4k+2}}=2k(k+1)$

$\sum_{k=1}^n\frac1{\sin^2\left(\frac{2k-1}{4n+2}\pi\right)}=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac\pi2-\frac{2k-1}{4n+2}\pi\right)}=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac{n-k+1}{2n+1}\pi\right)}\\=\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2\left(\frac{k}{2n+1}\pi\right)}=n+\sum_{k=1}^n\tan^2\left(\frac{k}{2n+1}\pi\right)\\=n+n(2n+1)=2n(n+1)$

:)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh