Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} & \\x^3-2y+1=0 & \end{matrix}\right.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 SweetCandy11

SweetCandy11

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết

Đã gửi 30-05-2015 - 17:23

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} & \\x^3-2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

 

và : $\left\{\begin{matrix}2x+3y=5xy & \\ 4x^2+y^2=5xy^2 & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SweetCandy11: 30-05-2015 - 17:24


#2 Congnghiaky298

Congnghiaky298

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nghĩa kỳ

Đã gửi 30-05-2015 - 18:45

1) Xét  $x>y$ thì $\frac{1}{x}< \frac{1}{y}$ 

$(1)\Rightarrow x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

Nên VT>0 và VP<0 (loại)

Tương tự xét $x<y$ thì VT<0 và VT>0 (loại)

Do đó x=y 

Thay vào pt (2) tương đương

$(x^2+x-1)(x-1)=0$

Đến đây dễ rồi nha



#3 Congnghiaky298

Congnghiaky298

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nghĩa kỳ

Đã gửi 30-05-2015 - 19:11

Bài 2: Bạn có thể tham khảo http://diendantoanho...16/#entry562482

Cách khác hơi dài nhưng cũng không tệ   :))

Nhận xét $x=y=0$ là 1 nghiệm của pt. Với x,y khác 0

Chia pt đầu cho x, phương trình sau cho xy ta được

$\left\{\begin{matrix}2+\frac{3y}{x}=5y&&\\ \frac{4x}{y}+\frac{y}{x} =5y&  & \end{matrix}\right.$
 $pt (2) - pt(1)=$  $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-2=0$
Dễ dàng nhận thấy x,y cùng dấu vì nếu khác dấu thì VT<0
Xét x,y cùng dấu dương .Áp dụng bđt Cô si 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$  
Thay x=y vào pt (1) thì $5x=5x^2$ nên $x=y=1$
Xét x,y cùng dấu âm thì 2x+3y=5xy nên pt vô nghiệm 
Sai bước đầu rồi , mọi người khỏi comment xin thứ lỗi :) hông để ý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Congnghiaky298: 30-05-2015 - 20:55


#4 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 30-05-2015 - 20:36

 

Bài 2: Bạn có thể tham khảo http://diendantoanho...16/#entry562482

Cách khác hơi dài nhưng cũng không tệ   :))

Nhận xét $x=y=0$ là 1 nghiệm của pt. Với x,y khác 0

Chia pt đầu cho x, phương trình sau cho xy ta được

$\left\{\begin{matrix}2+\frac{3y}{x}=5y&&\\ \frac{4x}{y}+\frac{y}{x} =5y&  & \end{matrix}\right.$
 $pt (2) - pt(1)=$  $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-2=0$
Dễ dàng nhận thấy x,y cùng dấu .Áp dụng bđt Cô si 
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$ hoặc $x=y=-1$ thử lại ta thấy $x=y=1$ thỏa mãn
Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm $x=y=0;x=y=1$

 

Bài này ra 3 nghiệm chứ nhỉ  :wacko:



#5 tonarinototoro

tonarinototoro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-05-2015 - 22:14

1) Xét  $x>y$ thì $\frac{1}{x}< \frac{1}{y}$ 

$(1)\Rightarrow x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

Nên VT>0 và VP<0 (loại)

Tương tự xét $x<y$ thì VT<0 và VT>0 (loại)

Do đó x=y 

Thay vào pt (2) tương đương

$(x^2+x-1)(x-1)=0$

Đến đây dễ rồi nha

x,y chưa chắc dương!



#6 Vito Khang Scaletta

Vito Khang Scaletta

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11A9 - Trường THPT Mạc Đĩnh Chi, Q6, TP. HCM
  • Sở thích:Các môn khoa học tự nhiên... đặc biệt là Toán.

Đã gửi 31-05-2015 - 00:14


Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y} & \\x^3-2y+1=0 & \end{matrix}\right.$

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 \\ y\neq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow x-y-(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=0\Leftrightarrow x-y-\frac{y-x}{xy}=0\Leftrightarrow (x-y)(1+\frac{1}{xy})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y \\ y=\frac{-1}{x};(x\neq 0) \end{bmatrix}$
$*$ Với $x=y$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 \\ x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
$*$ Với $y=\frac{-1}{x}$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}+\frac{2}{x}+1=0\Leftrightarrow x^{4}+x+2=0$ (vô nghiệm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y};(1) & \\x^3-2y+1=0;(2) & \end{matrix}\right.$

Vậy các nghiệm của hệ là $(1;1), (\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}), (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$ 

 

P/s: Cái chỗ phương trình bậc 4 có ai chứng minh nó vô nghiệm giúp mình được không vậy... @@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 31-05-2015 - 00:15

$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<


#7 ZzNightWalkerZz

ZzNightWalkerZz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Ɲιgнтмαяє}}$
  • Sở thích:$\blacklozenge\boxed{\text{GodOfCarnage}}\blacklozenge$

Đã gửi 31-05-2015 - 14:40

 

 

 

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 \\ y\neq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow x-y-(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=0\Leftrightarrow x-y-\frac{y-x}{xy}=0\Leftrightarrow (x-y)(1+\frac{1}{xy})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y \\ y=\frac{-1}{x};(x\neq 0) \end{bmatrix}$
$*$ Với $x=y$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 \\ x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
$*$ Với $y=\frac{-1}{x}$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}+\frac{2}{x}+1=0\Leftrightarrow x^{4}+x+2=0$ (vô nghiệm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y};(1) & \\x^3-2y+1=0;(2) & \end{matrix}\right.$

Vậy các nghiệm của hệ là $(1;1), (\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}), (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$ 

 

P/s: Cái chỗ phương trình bậc 4 có ai chứng minh nó vô nghiệm giúp mình được không vậy... @@

 

Cái phương trình ấy giải như sau

$x^4+x+2=0<=>2x^4+2x+4=0<=>(x+1)^2+2x^4-x^2+3=0$
$2x^4-x^2+3>0$ (Chắc ai cũng chứng minh được  :icon6: )

Vậy phương trình vô nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 31-05-2015 - 14:41

.

Reaper

.

.

The god of carnage


#8 VASILE CIRTOAJE

VASILE CIRTOAJE

    Binh nhất

  • Banned
  • 21 Bài viết

Đã gửi 07-06-2015 - 23:37

câu hình khó quá .điểm yếu muôn thuở






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh