Theo Cosi cho 4 số ta có : $4\geq ab+bc+ac+abc\geq 4\sqrt[4]{(abc)^3}= > \sqrt[4]{(abc)^3}\leq 1= > abc\leq 1$
Từ đó $= > \sqrt[3]{abc}\geq \sqrt[3]{(abc)^2}= > a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$
$= > a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2}$
Ta cần chứng minh $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2}\geq 2(ab+bc+ac)$ (1)
Đặt $\sqrt[3]{a^2}=x,\sqrt[3]{b^2}=y,\sqrt[3]{c^2}=z$
Do đó BDT (1) $< = > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 2(\sqrt{(xy)^3}+\sqrt{(yz)^3}+\sqrt{(xz)^3})$
Theo BDT Schur bậc 3 ta có : $x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$ (2)
Theo Cosi có : $xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)\geq xy.2\sqrt{xy}+yz.2\sqrt{yz}+xz.2\sqrt{xz}=2(\sqrt{(xy)^3}+\sqrt{(yz)^3}+\sqrt{(xz)^3})$ (3)
Từ (2),(3) $= > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq 2(\sqrt{(xy)^3}+\sqrt{(yz)^3}+\sqrt{(xz)^3})$
Do đó (1) đúng và ta có ĐPCM .
$= > a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z< = > a=b=c=1$